Идеи, привлекаемые в качестве основы математических моделей. Отражение свойств и характеристик объекта в математической модели.

Вопросы к экзамену по дисциплине «Математическое моделирование»

(магистратура)

Что изучает дисциплина «математическое моделирование»?

Математическое моделирование – это технология изучения и прогнозирования проявлений интересующих нас объектов с использованием возможностей математики.

Математическая модель? Это приближенное представление закономерности проявления некоторого класса объектов или явлений окружающего мира, выраженное в виде математических конструкций–аналогов и сформулированное в математических терминах и символах.

Этапы математического моделирования.

1. выявление и математическая формализация законов, объясняющих выбранное для исследования проявление изучаемого объекта, построение математической модели объекта, сопоставимой с имеющимися, прогнозируемыми экспериментальными данными об объекте;

2. исследование сформулированной на основе построенной модели математической задачи, выбор или разработка методов ее решения и их реализация, в том числе, в компьютерных программах, проведение в рамках принятой модели математического эксперимента (аналитических решений, серии расчетов на ЭВМ), а также последующая обработка и анализ его результатов с обратной связью;

3. критический анализ разработанной математической модели, выявление степени ее соответствия, близости к реальным моделируемым проявлениям изучаемого объекта, впрочем, оцененной с точностью, возможной лишь на этом этапе развития науки и техники; корректировка параметров модели, анализ правильности и замена положений, закономерностей, закладываемых в основу формируемой модели;

4. возможное совершенствование, принципиальная замена математической модели входящей в конфликт с новыми объективно накопляемыми, уточняемыми знаниями об изучаемом явлении.

Модели, основанные на принципе наименьшего действия и принципе сохранения.

Исследовательская задача, как правило, заключается

либо в прогнозировании проявления некоторых качеств объекта (задача анализа),

либо в предсказании условий состояния объекта, в которых его проявления

наилучшим образом устроят человека (это т.н. управление параметрами объекта, поиск условий его оптимального состояния) (задача синтеза).

Классический путь математического моделирования в задачах прогнозирования

физических явлений часто подразумевает привлечение в качестве идеи (постулата)

математической модели фундаментального закона (законов) природы.

В механике к ним относятся:

- принцип наименьшего действия (наименьшего пути, наименьшего времени,

наименьшего импульса, наименьшей энергии…)

- и принцип сохранения (сохранение энергии, сохранение материи, сохранение

импульса, сохранения движения, теплового баланса, сохранение момента …).

Конечно, ключевым является вопрос, какой закон (законы) при моделировании

конкретной практической задачи следует выбрать и как его применить.

При этом вряд ли исследователю следует ограничивать поиск базовой идеи

математической модели из фундаментальных законов природы. В качестве идеи

математической модели проявления объекта могут быть выбраны разные наблюдаемые факты,

представления о нём, аналогии его проявления с проявлениями уже изученного явления. Но

возможность выбора при математическом моделировании классического пути, а именно, с

использованием фундаментальных законов, обоснованно придает исследователю

комфортность, уверенность в выборе неошибочного, гармоничного, лаконичного пути решения

поставленной задачи.

Последовательность построения и испытания математических моделей на примере задачи о растяжении и сжатии бруса.

Последовательность построения и испытания математических моделей на примере задачи об изгибе бруса.

Последовательность построения и испытания математических моделей на примере задачи о потере устойчивости бруса.

Задача о форме зеркала прожектора.

Задача о траектории луча света, отражающегося от зеркала.

Задача о траектории преломляющегося луча света.

Задачи о наилучших размерах консервной банки.

Метод Ритца.

Внутренние силы, напряжения, деформации, перемещения в твердом теле.

Напряженно-деформированное состояние твердого тела. Тензор деформаций, тензор напряжений и главные напряжения.

Закон Гука, как уравнение состояния в механике деформируемого твердого тела. Уравнения статического равновесия и уравнения равновесия в движении. Уравнения совместности деформаций.

Выражение изменения энергии в деформируемом твердом теле.

Поиск экстремумов функций и функционалов.

Понятие модели исследуемого объекта или явления.

Это приближенное представление закономерности проявления некоторого класса объектов или явлений окружающего мира, выраженное в виде математических конструкций–аналогов и сформулированное в математических терминах и символах.

Идеи, привлекаемые в качестве основы математических моделей. Отражение свойств и характеристик объекта в математической модели.

    Классический путь математического моделирования в задачах прогнозирования физических явлений часто подразумевает привлечение в качестве идеи (постулата) математической модели фундаментального закона (законов) природы.

    При этом вряд ли исследователю следует ограничивать поиск базовой идеи математической модели из фундаментальных законов природы. В качестве идеи математической модели проявления объекта могут быть выбраны разные наблюдаемые факты, представления о нём, аналогии его проявления с проявлениями уже изученного явления. Но возможность выбора при математическом моделировании классического пути, а именно, с использованием фундаментальных законов, обоснованно придает исследователю комфортность, уверенность в выборе неошибочного, гармоничного, лаконичного пути решения поставленной задачи.

    Мы ясно знаем, что хотим от управляемого объекта, эта цель задачи исходит от нас, и мы её ставим сами. В математической модели участвуют и те количественные характеристики объекта, корректировка которых определенно влияет на достижение цели. При этом конечно, выявляются и фиксируются реальные границы изменения значений этих характеристик, что важно для корректной формулировки и решения будущей математической задачи.