Доказательство неравенств. Одинаково упорядоченные

Содержание учебного предмета

Логика и смекалка. Сюжетные логические задачи. Геометрическая смесь (задачи со спичками, задачи на разрезание). Про правдолюбцев и лжецов. переливания. Цифры и числа. Цифровые задачи. Десятичная запись натурального числа. Делимость и остатки. Четность. Признаки делимости. Остатки. Наибольший общий делитель.

Графы. Теория графов. Задача Эйлера. Рисование не отрывая карандаша от бумаги.

Задачи на переливание.

Задачи на взвешивание 

Принцип Дирихле. Задачи на принцип Дирихле (кролики и зайцы).

Задачи на проценты. Задачи на сплавы. Задачи на смеси.

Текстовые задачи. Задачи на движение. Задачи на совместную работу.

Геометрические задачи. Задачи на вычисление углов треугольника, на равенство треугольников, задачи на построение.

Решение задач новых олимпиад

Делимость и простые числа. Деление с остатком. Задачи на применение признаков делимости. Общие делители и общие кратные. Алгоритм Евклида. Теорема о простом делителе. Основная теорема арифметики.

Уравнения в целых числах и методы их решения. Решение линейных уравнений с двумя переменными. Модуль (сравнения). Неравенства и рост. Разбиение на пары. Алгебраический метод

Задачи на построение при помощи циркуля и линейки. Метод ГМТ, симметрия. Построение треугольников по трём элементам.

Логические задачи.Решение логических задач составлением таблиц. Решение логических задач с помощью схем. Задачи с конечными множествами. Задачи о лгунах и рыцарях.

Метод вспомогательной окружности .

Неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим.

Доказательство неравенства Коши. Среднее гармоническое и среднее квадратичное. Доказательство неравенств.

Доказательство неравенств. Одинаково упорядоченные последовательности.

Доказательство неравенств разными способами.

Принцип Дирихле и его применение при решении задач. Понятие о принципе Дирихле. Решение простейших задач на применение принципа Дирихле. Принцип Дирихле в задачах с «геометрической» направленностью.

 Квадратный трёхчлен. Задачи с параметрами. Использование при доказательстве неравенств. Расположение корней квадратного трёхчлена. Квадратный трёхчлен в доказательстве неравенств.

 Планиметрические высокого уровня сложности. Решение задач по планиметрии школьного и олимпиадного курса. Необходимые тригонометрические формулы выводятся из треугольника для углов меньших 90⁰ .

Разбор задач муниципального и регионального этапов ВОШ, олимпиады Эйлера, Ломоносова, и др.

Делимость и простые числа. Деление с остатком. Задачи на применение признаков делимости. Общие делители и общие кратные.. Теорема о простом

делителе. Малая теорема Ферма. Китайская теорема об остатках

 Уравнения в целых числах и методы их решения.

Модуль (сравнения). Неравенства и рост. Разбиение на пары. Алгебраический метод (задачи высокого уровня сложности)

Задачи по планиметрии. Вписанные четырехугольники . Параллельность, перпендикулярность, площади. Метод подобия. Инверсия

 Инварианты.

Решение логических задач составлением таблиц. Решение логических

задач с помощью схем. Задачи с конечными множествами. Задачи о лгунах и

рыцарях.

 

 Графы. Изоморфность, степени вершин, деревья, теорема о вершинах и рёбрах

дерева.

Многочлены. Многочлены как алгебраические объекты, и как функциональные.

Равенство многочленов. Функциональные уравнения на множестве

многочленов.

Доказательство неравенств. Одинаково упорядоченные

последовательности. Доказательство неравенств разными способами.

 Принцип Дирихле и его применение при решении задач. Понятие о принципе Дирихле. Решение простейших задач на применение принципа Дирихле. Принцип Дирихле в задачах с «геометрической» направленностью.

 Квадратный трёхчлен. Задачи с параметрами. Использование

при доказательстве неравенств. Расположение корней квадратного трёхчлена. Квадратный трёхчлен в доказательстве неравенств.

Метод математической индукции в олимпиадных задачах. Решение задач на доказательство методом математической индукции школьного и олимпиадного курса. 

Разбор задач муниципального этапа олимпиады, а также регионального этапа, олимпиады Эйлера, Ломоносова, и др.

 

6. Тематическое планирование с определением основных видов учебной деятельности

9 класс

№№ п/п	Название темы урока	К-во часов	Виды деятельности
	1. Делимость и простые числа. (8 часов).
1.	Сравнения по модулю Признаки делимости.	2	Понимание признаков делимости с доказательством
2.	Малая теорема Ферма	2	Воспроизведение доказательства
3.	Решение задач.	2	Применение теоремы в решении задач
4.	Китайская теорема об остатках	1	Воспроизведение доказательства
5.	Решение задач.	1	Применение теоремы в решении задач
	2. Уравнения в целых числах и методы их решения. (6 часов).
6.	Разбиение на пары	1	Понимание метода «Разбиение на пары»
7.	Модуль.	1	Подбор модуля для накладывания ограничени
8.	Алгебраические методы	2	Использование формул сокращённого умножения в задачах теории чисел.
9.	Неравенства и рост.	2	Использование количественных оценок в задачах теории чисел.
	3. Задачи по планиметрии (6 часов)
10.	Вписанные четырехугольники . Параллельность, перпендикулярность, площади.	3	Использование метода вспомогательной окружности
11.	Метод подобия. Инверсия	3	Понимание метода инверсии.
	4.Инварианты. (6 часов).
12.	Инварианты связанные с делимостью.	2	Понимание сути инварианта
13.	Решение логических задач с помощью инвариантов	1	Узнавание задач решаемых с помощью инварианта
14.	Инварианты в таблицах	1	Узнавание задач решаемых с помощью инварианта.
15.	Решение задач.	2	Узнавание задач решаемых с помощью инварианта
	5. Графы (4 часа).
16.	Понятие графа.	1	Понимание того, что такое граф.
17.	Деревья. Степень вершины.	1	Знание понятий
18.	Теорема о рёбрах и вершинах дерева.	1	Воспроизведение теоремы о рёбрах и вершинах
19.	Решение задач.	1	Узнавание задач решаемых при помощи графов
	Многочлены (4часа)+4ч разд 11
20.	Многочлены как алгебраические объекты, и как функциональные.	1	Восприятие многочлена как функции, и как объекта с которым можно производить операции
21.	Равенство многочленов. Многочлены с целыми коэффициентами	1	Восприятие многочлена как функции, и как объекта с которым можно производить операции.
22.	Функциональные уравнения на множестве многочленов.	1	Понимание, что значит решить функциональное уравнение.
23.	Доказательство неравенств	1	Применение классических неравенств при доказательстве неравенств
24.	Решение задач муниципальной олимпиады	4	Творческая самостоятельная работа
	Доказательство неравенств. Одинаково упорядоченные последовательности. (6 часов)+2 разд 11 Доказательство неравенств разными способами.
25.	Одинаково упорядоченные последовательности	1	Понимание теорем об одинаково упорядоченных последовательностях
26.	Монотонные функции	3	Использование монотонности функций при доказательстве неравенств
27.	Доказательство неравенств	5	Использование монотонности функций при доказательстве неравенств
28.	Олимпиада Эйлера	1	Творческая работа
29.	Региональная олимпиада	1	Творческая работа
	8. Принцип Дирихле и его применение при решении задач. (6 часов).
30.	Понятие о принципе Дирихле.	3	Узнавание основных задач решаемых с помощью принципа Дирихле
31.	Решение простейших задач на применение принципа Дирихле.	2	Узнавание основных задач решаемых с помощью принципа Дирихле
32.	Принцип Дирихле в задачах с «геометрической» направленностью.	2	Узнавание основных задач решаемых с помощью принципа Дирихле
33.	Решение задач.	1	Узнавание основных задач решаемых с помощью принципа Дирихле
	9 Квадратный трёхчлен. Задачи с параметрами. Использование при доказательстве неравенств. (4 часа)
34.	Расположение корней квадратного трёхчлена.	2	Изучение условий расположения корней квадратного трёхчлена.
35.	Квадратный трёхчлен в доказательстве неравенств.	2	Использование свойств квадратного трёхчлена при доказательстве неравенств. Неравенство Коши-Буняковского
	Метод математической индукции (6 часов)
36.	Доказательство тождеств	2	Приобретение твёрдых навыков доказательства тождеств
37	Доказательство неравенств с использованием классических неравенстч Коши- Буняковского, Йенсена,и др.	4	Использование выпуклости и вогнутости при доказательстве неравенств
38	Разбор задач муниципального этапа олимпиады, а также регионального этапа, олимпиады Эйлера, Ломоносова, и др.	2	Выделение методов решения творческих задач, поиск методов, оформление решений

7. Описание учебно-методического и материально-технического

обеспечения образовательного процесса

1. Фарков А.В. Готовимся к олимпиадам по математике: учебно-методическое пособие. – М.: Издательство «Экзамен», 2010;

2. Сгибнев А.И. Делимость и простые числа. – М.: МЦНМО, 2012;

3. Фарков А.В. Математические олимпиады: муниципальный этап. 5-11 классы. – М. ИЛЕКСА, 2012;

4. Шарыгин И.Ф., Шевкин А.В. Математика: Задачи на смекалку. – М.: Просвещение, 2008 г.

5. Коннова Е.Г.; под ред. Ф.Ф.Лысенко. Математика. Поступаем в вуз по результатам олимпиад.: 5-8 класс. Ч. 1.: учебно-методическое пособие. – Ростов-на-Дону: Легион-М, 2009.

6. Коннова Е.Г.; под ред. Ф.Ф.Лысенко. Математика. Поступаем в вуз по результатам олимпиад.: 6-9 класс. Ч. 2.: учебно-методическое пособие. – Ростов-на-Дону: Легион-М, 2009.

7. http://school-collection.edu.ru/catalog/pupil/?&subject[]=16&class[]=49 - единая коллекция цифровых образовательных ресурсов.

8. http://www.problems.ru/about_system.php - проект МЦНМО «задачи»

9. http://www.shevkin.ru/?action=Page&ID=384 – готовься к олимпиадам и конкурсам.

10.  Задачи муниципальных , Региональных, Всероссийских олимпиад , текущего года.

11. Рукшин С. Е. Теория чисел в задачах

12. Шарыгин И. Ф Сборник задач по планиметрии

 

8 .Планируемые результаты обучения .

В результате изучения курса учащиеся научатся:

· использовать признаки делимости;

· способам решения логических задач;

· способам преобразования числовых выражений, содержащих дроби;

В результате изучения курса учащиеся должны уметь:

· выполнять деление чисел, используя признаки делимости;

· решать задачи с использованием свойств четности;

· применять основную теорему арифметики и использовать свойства делимости;

·  находить часть и проценты от числа при решении более сложных задач на проценты;

· решать логические задачи;

· применять принцип Дирихле при решении простейших задач и задач с «геометрической» направленностью, в задачах теории чисел и комбинаторно- логических задачах;

· находить несколько правильных решений одной и той же задачи, вести разумную запись решения задач на переливания и взвешивания,

· применять способы преобразования числовых выражений, содержащих дроби,

· применять основную теорему арифметики и использовать свойства,

· научиться находить часть и проценты от числа при решении более сложных задач.

· применять методы «модуль», «разбиение на пары», алгебраические методы, неравенство и рост при решении задач теории чисел;

· научиться решать ключевые задачи по темам «площадь», «метод вспомогательной окружности»;

·  решать задачи с параметрами используя свойства квадратного трёхчлена, использовать понятие инварианта при решении разных логических задач;

·  решать серию ключевых задач по теории графов;

·  пользоваться методом математической индукции при доказательстве утверждений основанных на числах натурального ряда.

Учащиеся получат возможность:

накопить некоторый «багаж» олимпиадных идей и методов решения, что позволит им не пугаться незнакомых задач, в том числе и тех, которые не входят в базовую школьную программу.