Предельный переход под знаком интеграла
Здесь мы рассмотрим следующий вопрос: пусть на измеримом множестве E задана последовательность измеримых ограниченных функций f1(x), f2(x), f3(x), ¼ , fn(x), ¼ которая в каком-нибудь смысле (везде, почти везде, по мере) сходится к измеримой ограниченной функции F( x). Спрашивается, будет ли справедливо соотношение = (1) Если (1) верно, то говорят, что допустим предельный переход под знаком интеграла. Легко видеть, что, вообще говоря, это не так. Например, если функции fn( x) определены в сегменте [0, 1] следующим образом:
n при x Î , fn( x) = 0 при x ,
то при всяком x Î [0, 1] будет fn( x) = 0, но = 1, и этот интеграл не стремится к нулю. Поэтому естественно поставить вопрос о тех дополнительных ограничениях, которые нужно наложить на функцию fn( x), чтобы равенство (1) все же имело место. Мы ограничимся доказательством следующей теоремы. Теорема (А. Лебег). Пусть на измеримом множестве Е задана последовательность f1( x), f2( x), f3( x), ¼ измеримых ограниченных функций, сходящаяся по мере к измеримой ограниченной функции F(х) fn(x) Þ F(x). Если существует постоянная К, такая, что при всех п и лри всех х < K, то = (1) Доказательство. Прежде всего заметим, что почти для всех х Î Е будет £ K. (2) В самом деле, из последовательности { fn( x)} можно (на основании теоремы Рисса) извлечь частичную последовательность { ( x)}, которая сходится к F( x) почти везде. Во всех точках, где (x) ® F(x), можно перейти к пределу в неравенстве < K, что и приводит к (2). Пусть теперь s есть положительное число. Положим, An( s) = E( ) ³ s), Bn( s) = E( ) < s. Тогда £ = + . В силу неравенства £ + , почти для всех х из множества An( s) будет < 2 K, так что по теореме о среднем £ 2 K × mAn( s) (3) (то обстоятельство, что неравенство < 2К может не выполняться на множестве меры 0, несущественно. Можно, например, функцию на этом множестве изменить, сделав ее равной нулю; тогда неравенство (3) будет выполняться во всех точках А. Но так как изменение функции на множестве меры 0 не влияет на величину интеграла, то (3) верно и без такого изменения). С другой стороны, опять-таки в силу теоремы о среднем, £ s mBn( s) £ s mE. Сопоставляя это с (3), находим, что £ 2K × mAn( s ) + s mE. (4) Заметив это, возьмем произвольное e > 0 и найдем столь малое s > 0, что s × mE < . Фиксировав это s, мы, на основании самого определения сходимости по мере, будем иметь, что при n ® ¥ mAn( s) ® 0 и, стало быть, для n > N окажется 2 K × mAn( s) < . Для этих n неравенство (4) примет вид < e, что и доказывает теорему. Легко понять, что теорема остается верной и в том случае, когда неравенство < K выполняется только почти везде на множестве Е. Доказательство остается прежним. Далее, поскольку сходимость по мере общее обычной сходимости, то теорема и подавно сохраняет силу для того случая, когда fn(x) ® F(x) почти везде (и тем более везде).
Популярное: Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (243)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |