Формулы прямоугольников

Пусть , т.е. мы аппроксимируем f(x) левой кусочно–линейной интерполяцией. Тогда получим

 

Формула трапеций

В этой формуле , т.е. площадь криволинейной трапеции, заменяется на площадь прямоугольной трапеции.

Можно показать, что формула трапеций имеет второй порядок точности.

Формулу трапеций можно записать в виде:

Оценка погрешности:

Формула Симпсона

Формула Симпсона имеет 4 порядок точности

Оценка погрешностей:

 

 

 

 

Постановка задачи Коши и ее геометрический смысл. Основные характеристики численных методов. Понятие о локальной и глобальной погрешностях.

Постановка задачи:

 

Будем рассматривать задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) первого порядка, разрешенного относительно производной:

                                                                                                

Здесь  – ОДУ первого порядка,  – начальное условие. В общем случае, интерес представляет решение ОДУ для времени , но часто ограничиваются некоторым конечным интервалом времени .

 

Геометрический смысл задачи Коши заключается в том, чтобы во множестве всех интегральных кривых системы найти ту, которая проходит через точку (t₀, x₀).

 

 

 

21.Явный метод Эйлера. Модификации метода Эйлера 2-го порядка точности. Неявный метод Эй­лера.

 

Вполне естественным (но не единственным) путем получения численного решения является замена в нем интеграла какой–либо квадратурной формулой численного интегрирования. Если воспользоваться простейшей формулой левых прямоугольников первого порядка

,

то получим явную формулу Эйлера:

, .

Порядок расчетов:

Зная , находим , затем т.д.

 

Явный метод Эйлера имеет первый порядок точности или аппроксимации.

Метод Эйлера обладает медленной сходимостью, поэтому чаще применяют методы более высокого порядка точности. Второй порядок точности по имеет усовершенствованный метод Эйлера .

Если использовать формулу правых прямоугольников: , то придем к методу

, .

Этот метод называют неявным методом Эйлера, поскольку для вычисления неизвестного значения по известному значению требуется решать уравнение, в общем случае нелинейное.

Неявный метод Эйлера имеет первый порядок точности или аппроксимации.

 

 

22. Принципы построения методов Рунге-Кутты. Однопараметрическое семейство методов Рунге-Кутты 2-ого порядка. Метод Рунге-Кутты 4-ого порядка.

 

 

 

 

Решение задачи Коши для систем дифференциальных уравнений и уравнений m -го порядка.

 

 

 

Постановка краевой задачи. Дискретизация задачи. Сетка, сеточные функции. Построение разностной схемы. Использование метода прогонки. Оценка погрешностей сеточного решения.

25. Численные методы одномерной минимизации….