Свойства системы. В чём они состоят?

Система "кухонный комбайн" является иерархически упорядоченной, так как состоит из подсистем.

Система централизована, так как центром является мотор, обеспечивающий работу (движение) остальных элементов кухонного комбайна.

Система является инерционной, так как имеет конечное время переработки.

Система адаптивна, так как сохраняет свои функции при возмущающих воздействиях среды, например, при изменении качества ухода и обслуживания, изменении погодных условий (температура, влажность, давление), и т.д.

Принятие решения.

Предположим, что фирма хочет повысить качество выпускаемой системы. Какие другие системы, кроме анализируемой системы, необходимо при этом учитывать? Объясните, почему на решение этой проблемы влияет то, как устанавливаются границы системы и окружающей среды.

При принятии решения о повышении качества выпускаемой системы - кухонного комбайна, фирме-производителю необходимо учитывать следующие внешние системы:

потребителей, которые предъявляют определённые требования к качеству продукции;

маркетинговую систему, так как сначала необходимо выяснить, какие именно требования предъявляют потребители;

систему своих собственных внутрифирменных ресурсов (человеческих, материальных, финансовых);

производственную систему, то есть производственные возможности и производственные мощности;

систему поставщиков, от которых зависит качество сырья и комплектующих;

технологическую систему, от которой зависит возможность улучшения качественных показателей и технология изготовления;

экономическую систему, от которой зависят финансовые условия деятельности фирмы и выбор стратегии (конкуренция, прибыль, ценообразование, налоги);

систему обеспечения и обслуживания, от которой зависит уровень обслуживания и наличие запасных частей в ремонтных мастерских.

Для того чтобы достичь своей цели фирме-производителю необходимо учитывать очень большое количество факторов. При этом получается так, что все подсистемы объединяются в рамках общей системы, которая устанавливается границы исследуемой системы и окружающей среды. Если что-нибудь изменить внутри этих границ, то в результате снизится возможность достижения именно той цели, которая была поставлена фирмой-производителем или же эта цель вообще станет недостижимой.

 

Задача № 4

 

Условие задачи.

Дана проблема и возможные варианты её решения (множество допустимых альтернатив) В₁, В₂, …, В_k (смотри таблицу 1). Каждая альтернатива оценивается множеством (списком) критериев К₁, К₂, …, К_n (смотри таблицу 1).

Требуется выбрать наилучший вариант решения (наилучшую альтернативу) и оценить последствия выбора (положительные и отрицательные).

При этом для нахождения наилучшего решения используется метод анализа иерархий (метод собственных значений), основанный на аддитивной свёртке.

Таблица 1.

№ варианта задания	Проблема, варианты её решения (множество альтернатив)	Список критериев
3	Проблема: выбор места работы. Варианты: В1 - частная фирма, В2 - государственное предприятие, В3 - учебный институт.	Оклад, самостоятельность, профессиональный интерес, возможность получения жилплощади, дополнительные нагрузки, дополнительные выгоды, необходимость переобучения, удалённость от дома.

 

Решение.

Разбиваем все критерии на 4 группы. После этого составляем общий сквозной список критериев по убыванию важности, причём наиболее важными считаются критерии первой группы, затем второй и третьей.

Функциональные критерии:

оклад

профессиональный интерес

Эргономические критерии:

самостоятельность

возможность получения жилплощади

дополнительные нагрузки

дополнительные выгоды

необходимость переобучения

удалённость от дома

Технико-экономические и специальные критерии - отсутствуют.

Общий сквозной список:

К₁ - оклад

К₂ - профессиональный интерес

К₃ - удалённость от дома

К₄ - дополнительные выгоды

К₅ - необходимость переобучения

К₆ - дополнительные нагрузки

К₇ - самостоятельность

К₈ - возможность получения жилплощади

Оценим каждую альтернативу (вариант) множеством критериев.

Альтернативы:

В₁ - частная фирма.

В₂ - государственное предприятие.

В₃ - учебный институт.

Оценка:

К₁ - В₁ > В₂ = В₃

К₂ - В₂ > В₃ > В₁

К₃ - В₁ = В₂ = В₃

К₄ - В₃ > В₂ > В₁

К₅ - В₃ > В₂ > В₁

К₆ - В₁ > В₃ > В₂

К₇ - В₃ > В₂ > В₁

К₈ - В₂ > В₃ = В₁

 

Проведём попарное сравнение критериев по важности по девятибалльной шкале, и составим соответствующую матрицу (таблица 2) размера (8 x 8):

равная важность - 1,умеренное превосходство - 3,значительное превосходство - 5,сильное превосходство - 7,очень сильное превосходство - 9,в промежуточных случаях ставятся чётные оценки - 2, 4, 6,8.

Таблица 2.

Критерии	К1	К2	К3	К4	К5	К6	К7	К8	НВП
К1	1	1	3	3	5	7	7	9	0,293
К2	1	1	2	3	5	7	3	9	0,251
К3	1/3	1/2	1	2	4	7	3	9	0,170
К4	1/3	1/3	1/2	1	3	8	3	3	0,116
К5	1/5	1/5	1/4	1/3	1	5	3	9	0,077
К6	1/7	1/7	1/7	1/8	1/5	1	3	9	0,039
К7	1/7	1/3	1/3	1/3	1/3	1/3	1	2	0,037
К8	1/9	1/9	1/9	1/3	1/9	1/9	1/2	1	0,017
λ max = 8,8480 ИС = 0,1211 ОС = 0,0859

 

Нормализованный вектор приоритетов (НВП) определяется по следующей схеме:

а) рассчитывается среднее геометрическое элементов в каждой строке матрицы по формуле:

 

 

б) рассчитывается сумма средних геометрических:

 

∑= а₁ + а₂ + … + а_n

 

в) вычисляют компоненты НВП:

 

а_n = а_n / ∑.

 

Каждый компонент НВП представляет собой оценку важности соответствующего критерия.

Проверяется согласованность оценок в матрице. Для этого подсчитываются три характеристики:

а) собственное значение матрицы по формуле:

λ _макс = ∑ элементов 1^го столбца × 1^й компонент НВП + ∑ элементов 2^го столбца × 2^й компонент НВП + … + ∑ элементов n^го столбца × n^й компонент НВП,

где × - знак умножения;

 

 

случайной согласованности, определяемый теоретически для случая, когда оценки в матрице представлены случайным образом, и зависящий от размера матрицы. Значения ПСС представлены в таблице 3.

 

Таблица 3.

Размер матрицы	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
ПСС	0	0	0,58	0,90	1,12	1,24	1,32	1,41	1,45	1,49

 

Оценки в матрице считаются согласованными, если

 

ОС ≤ 10 ÷15%.

 

Проведём попарное сравнение пригодности (ценности) вариантов по каждому критерию по той же шкале, что и для критериев. Для этого необходимо предварительно проранжировать варианты по каждому критерию. Затем полученные результаты занесём в таблицу (таблица 4). В каждом случае подсчитываются:

λ _{i max};

ИС _i;

ОС _i.

Таблица 4.

К1	В1	В2	В3	НВП	К2	В1	В2	В3	НВП	К3	В1	В2	В3	НВП
В1	1	5	5	0,714	В1	1	1/5	1/3	0,105	В1	1	1	1	0,333
В2	1/5	1	1	0,143	В2	5	1	3	0,637	В2	1	1	1	0,333
В3	1/5	1	1	0,143	В3	3	1/3	1	0,258	В3	1	1	1	0,333
λ 1 max = 3,0000 ИС1 = 0,0000 ОС1 = 0,0000					λ 2 max = 3,0385 ИС2 = 0,0193 ОС2 = 0,0332					λ 3 max = 3,0000 ИС3 = 0,0000 ОС3 = 0,0000
К4	В1	В2	В3	НВП	К5	В1	В2	В3	НВП	К6	В1	В2	В3	НВП
В1	1	1/3	1/5	0,114	В1	1	1/3	1/5	0,114	В1	1	5	3	0,637
В2	3	1	1	0,405	В2	3	1	1	0,405	В2	1/5	1	1/3	0,105
В3	5	1	1	0,481	В3	5	1	1	0,481	В3	1/3	3	1	0,258
λ 4 max = 3,0291 ИС4 = 0,0145 ОС4 = 0,0251					λ 5 max = 3,0291 ИС5 = 0,0145 ОС5 = 0,0251					λ 6 max = 3,0385 ИС6 = 0,0193 ОС6 = 0,0332
К7	В1	В2	В3	НВП	К8	В1	В2	В3	НВП
В1	1	1/3	1/5	0,114	В1	1	1/7	1	0,111
В2	3	1	1	0,405	В2	7	1	7	0,778
В3	5	1	1	0,481	В3	1	1/7	1	0,111
λ 7 max = 3,0291 ИС7 = 0,0145 ОС7 = 0,0251					λ 8 max = 3,0000 ИС8 = 0,0000 ОС8 = 0,0000

 

На этом этапе необходимо подсчитать значение общего критерия для каждого варианта. Для этого значение компонента НВП данного варианта по 1^му критерию из таблицы 4 умножается на значение НВП 1^го критерия из таблицы 2, затем значение компонента НВП данного варианта по 2^му критерию умножается на значение НВП 2^го критерия и так далее по всем критериям. Полученные произведения суммируются. В итоге получаем значение общего критерия для 1^го варианта решения. Аналогично рассчитывается общий критерий для 2^го и 3^го вариантов.

 

К (В₁) = 0,714Í0,293 + 0,105Í0,251 + 0,333Í0,170 + 0,114Í0,116 + 0,114Í0,077 + 0,637Í0,039 + 0,114Í0,037 + 0,111Í0,017 = 0,3464

К (В₂) = 0,143Í0,293 + 0,637Í0,251 + 0,333Í0,170 + 0,405Í0,116 + 0,405 Í0,077 + 0,105Í0,039 + 0,405Í0,037 + 0,778Í0,017 = 0,3683

К (В₃) = 0,143Í0,293 + 0,258Í0,251 + 0,333Í0,170 + 0,481Í0,116 + 0,481Í0,077 + 0,258Í0,039 + 0,481Í0,037 + 0,111Í0,017 = 0,2853

К (В₁) = 0,3464 - частная фирма.

К (В₂) = 0,3683 - государственное предприятие.

К (В₃) = 0,2853 - учебный институт.

Так как метод анализа иерархий (метод собственных значений) основан на аддитивной свёртке, то данный этап решения задачи можно представить ещё и следующим образом по формуле аддитивной свёртки:

 

К (х) - общий критерий для альтернативы х Є Х, показывающий её

пригодность для достижения цели,

а _j - относительный вес (важность) частного критерия K_j.

Таблица 5

аjKj	варианты
	В1	В2	В3
а1К1	0,293Í0,714 = 0, 2092	0,293Í0,143 = 0,0418	0,293Í0,143 = 0,0418
а2К2	0,251Í0,105 = 0,0263	0,251Í0,637 = 0,1598	0,251Í0,258 = 0,0647
а3К3	0,170Í0,333 = 0,0566	0,170Í0,333 = 0,0566	0,170Í0,333 = 0,0566
а4К4	0,116Í0,114 = 0,0132	0,116Í0,405 = 0,0469	0,116Í0,481 = 0,0557
а5К5	0,077Í0,114 = 0,0087	0,077Í0,405 = 0,0311	0,077Í0,481 = 0,0370
а6К6	0,039Í0,637 = 0,0248	0,039Í0,105 = 0,0040	0,039Í0,258 = 0,0100
а7К7	0,037Í0,114 = 0,0042	0,037Í0,405 = 0,0149	0,037Í0,481 = 0,0177
а8К8	0,017Í0,111 = 0,0018	0,017Í0,778 = 0,0132	0,017Í0,111 = 0,0018

Для весов выполняется условие нормировки , которое необходимо, чтобы результаты, полученные в разных условиях, были сопоставимы.

В нашем случае:

 

,

 

то есть условие нормировки выполняется.

Наилучшее решение определяем по выражению:

 

К (х) - одна из свёрток выбираемых ЛПР, в нашем случае аддитивная свёртка.

Итак, по расчётам видно, что наибольшее значение критерия имеет второй вариант (В₂) (0,3683), который является предпочтительным перед остальными.

На этом этапе проверяется достоверность решения, для чего подсчитываются:

обобщённый индекс согласования (ОИС),

обобщённый показатель случайной согласованности (ОПСС),

обобщённое отношение согласованности (ООС).

1. ОИС подсчитывается по следующей формуле:

ОИС = ИС₁ Í НВП (К₁) + ИС₂ Í НВП (К₂) + … + ИС₈ Í НВП (К₈)

 

При этом:

ИС _i берётся из таблицы 4.

НВП (К _j) берётся из таблицы 2.

ОИС = 0,000 Í 0,293 + 0,0193 Í 0,251 + 0,000 Í 0,170 + 0,0145 Í 0,116 + 0,0145Í0,077 + 0,0193 Í 0,039 + 0,0145 Í 0,037 + 0,000 Í 0,017 = 0,0089

 

2. ОПСС подсчитывается так же как и ОИС, с той разницей, что вместо ИС₁, ИС₂ и так далее из таблицы 4 подставляются ПСС, соответствующие размеру матриц сравнения вариантов из таблицы 3. В данном случае размер матрицы 3, поэтому ПСС = 0,58.

 

ОПСС = 0,58 Í 0,293 + 0,58 Í 0,251 + 0,58 Í 0,170 + 0,58 Í 0,116 + 0,58 Í 0,077 + 0,58 Í 0,039 + 0,58 Í 0,037 + 0,58 Í 0,017 = 0,58

 

3. ООС рассчитывается по следующей формуле:

 

 

Решение считается достоверным, если ООС ≤ 10 ÷ 15%.

 

ООС удовлетворяет условию, а значит, решение является достоверным.

В заключении оценим положительные и отрицательные последствия данного решения.

Напомним, что по условию задачи была поставлена проблема:

выбор места работы.

Также были предложены три варианта решения данной проблемы:

В₁ - частная фирма,

В₂ - государственное предприятие,

В₃ - учебный институт.

В процессе решения задачи было выявлено, что наиболее предпочтительным является второй вариант, а именно государственное предприятие.

Положительные последствия данного решения:

социальная защищённость;

экономическая стабильность и защищённость;

нормированный рабочий день;

гарантированный отпуск;

возможность получения вознаграждений за дополнительные нагрузки;

возможность профессионального роста;

возможность получения различного вида льгот;

определённая уверенность в будущем.

Отрицательные последствия данного решения:

низкий уровень заработной платы (в частных фирмах, как правило, заработная плата выше);

ежемесячные авралы в конце каждого месяца и как следствие дополнительные нагрузки;

возможность увеличения различного вида нагрузок за ту же зарплату;

возможность материального наказания за произведённый брак (плохо выполненную услугу или работу);

зачастую косность мышления руководства и как следствие отсутствие возможности реализации своих собственных идей.

Следует иметь в виду, что для принятия обоснованного решения обычно приходится использовать несколько методов. Поэтому результат, полученный методом анализа иерархий, проверяется другими методами в задаче № 5.

Задача № 5

 

Условие задачи.

По данным предыдущей задачи найдите наилучшее решение, используя следующие методы:

свёртку по наихудшему критерию (с учётом важности критериев);

свёртку по наихудшему критерию (без учёта важности критериев);

метод главного критерия;

мультипликативную свёртку;

свёртку по наилучшему критерию;

аддитивную свёртку (с использованием функции полезности);

метод расстояния.

Обоснуйте применимость каждого метода, объясните полученные результаты и сделайте выводы.

Решение.

Свёртка по наихудшему критерию с учётом важности критериев.

Данная свёртка соответствует стратегии “пессимизма", при которой решение принимается по критерию, имеющему наименьшее значение. По таблице 5 из задачи 4 находим данные, используя формулу:

 

В₁: К (х) = min а₈ K₈ = 0,0018

В₂: К (х) = min а₆ K₆ = 0,0040

В₃: К (х) = min а₈ K₈ = 0,0018

 

Наилучшее решение определяем по выражению:

 

Наибольшее значение критерия имеет второй вариант (В₂), который является предпочтительным перед остальными.

Свёртка по наихудшему критерию без учёта важности критериев.

На основе данных таблицы 5 из задачи 4, и используя формулу:

 

, где а _j = const (j) = 1/n = 1/8

 

производим расчёт:

 

В₁: К (х) = min 1/8 K₂ = 0,125 x 0,105 = 0,0131

В₂: К (х) = min 1/8K₆ = 0,125 x 0,105 = 0,0131

В₃: К (х) = min 1/8 K₈ = 0,125 x 0,111 = 0,0138

 

Наилучшее решение определяем по выражению:

 

 

Наибольшее значение критерия имеет третий вариант (В₃), который является предпочтительным перед остальными.

Метод главного критерия.

Данный метод, можно применять в тех случаях, когда один из критериев значительно превосходит все остальные критерии (в три и более раз), если же это условие не выполняется, то данный метод применять не рекомендуется. Тот вариант, для которого значение главного критерия максимально, является наилучшим.

В данном случае главным критерием является критерий К₁, хотя считать его главным можно лишь с оговоркой, так как он не превышает все остальные критерии в 3 и более раз. На основе данных таблицы 5 получаем:

К (В₁) = 0, 2092

К (В₂) = 0,0418

К (В₃) = 0,0418

 

Наибольшее значение критерия имеет первый вариант (В₁).

Мультипликативная свёртка.

Данная свёртка позволяет учесть критерии, имеющие малые (по модулю) значения, то есть наибольший вклад дают множители наименьшие по модулю. На основе данных таблицы 4 из задачи 4, производим расчёт:

 

К (В₁) = 0,714^0,293 Í 0,105^0,251 Í 0,333^0,170 Í 0,114^0,116 Í 0,114^0,077 Í 0,637^0,039 Í

0,114^0,037 Í 0,111^0,017 = 0,9060 Í 0,5679 Í 0,8294 Í 0,7773 Í 0,8460 Í

0,9825 Í 0,9227 Í 0,9633 = 0,2450

К (В₂) = 0,143^0,293 Í 0,637^0,251 Í 0,333^0,170 Í 0,405^0,116 Í 0,405^0,077 Í 0,105^0,039 Í

0,405^0,037 Í 0,778^0,017 = 0,5656 Í 0,8929 Í 0,8294 Í 0,9004 Í 0,9327 Í

0,9158 Í 0,9671 Í 0,9957 = 0,3102

К (В₃) = 0,143^0,293 Í 0,258^0,251 Í 0,333^0,170 Í 0,481^0,116 Í 0,481^0,077 Í 0,258^0,039 Í

0,481^0,037 Í 0,111^0,017 = 0,5656 Í 0,7117 Í 0,8294 Í 0,9186 Í 0,9452 Í

0,9485 Í 0,9732 Í 0,9633 = 0,2577

К (В₁) = 0,2450

К (В₂) = 0,3102

К (В₃) = 0,2577

 

Наибольшее значение критерия имеет второй вариант (В₂), который является предпочтительным перед остальными.

Свёртка по наилучшему критерию.

Данный метод соответствует стратегии “оптимизма". На основе данных таблицы 5 из задачи 4 выбираем наибольшее значение произведений а _j K_j (B_j) для каждого варианта. Вариант, которому оно соответствует, - наилучший.

 

а₁ K_{1 (} B₁) = 0, 2092

 

Наибольшее значение критерия имеет первый вариант (В₁), который является предпочтительным перед остальными.

Аддитивная свёртка (с использованием функции полезности).

Данный метод позволяет учесть критерии, имеющие большие (по модулю) значения.

Используя данные таблицы 4 из задачи 4, оценим по 10-и балльной шкале полезность (ценность) каждого варианта по каждому критерию. Наименьшее значение принимаем за 1.

По критерию К₁:

В₁ = 8/ (8 + 1 + 1) Í 10 = 8/10 Í 10 = 0,8 Í 10 = 8

В₂ = 1/ (8 + 1 + 1) Í 10 = 1/10 Í 10 = 0,1 Í 10 = 1

В₃ = 1/ (8 + 1 + 1) Í 10 = 1/10 Í 10 = 0,1 Í 10 = 1

По критерию К₂:

В₁ = 1/ (1 + 6 + 3) Í 10 = 1/10 Í 10 = 0,1 Í 10 = 1

В₂ = 6/ (1 + 6 + 3) Í 10 = 6/10 Í 10 = 0,6 Í 10 = 6

В₃ = 3/ (1 + 6 + 3) Í 10 = 3/10 Í 10 = 0,3 Í 10 = 3

 

И так далее по всем критериям. Полученные результаты занесём в таблицу 1.

Таблица 1

	К1	К2	К3	К4	К5	К6	К7	К8
В1	8	1	3	1	1	6	1	1
В2	1	6	3	4	4	1	4	8
В3	1	3	3	5	5	3	5	1

Теперь, используя данные полученной таблицы и оценки важности критериев по таблице 2 из задачи 4, найдём наилучшее решение.

К (В₁) = 0,293×8 + 0,251×1 + 0,170×3 + 0,116×1 + 0,077×1 + 0,039×6 + 0,037×1 + 0,017×1 = 2,344 + 0,251 + 0,510 + 0,116 + 0,077 + 0,234 + 0,037 + 0,017 = 3,586

К (В₂) = 0,293×1 + 0,251×6 + 0,170×3 + 0,116×4 + 0,077×4 + 0,039×1 + 0,037×4 + 0,017×8 = 0,293 + 1,506 + 0,510 + 0,464 + 0,308 + 0,039 + 0,148 + 0,136 = 3,404

К (В₃) = 0,293×1 + 0,251×3 + 0,170×3 + 0,116×5 + 0,077×5 + 0,039×3 + 0,037×5 + 0,017×1 = 0,293 + 0,753 + 0,510 + 0,580 + 0,385 + 0,117 + 0,185 + 0,017 = 2,840

К (В₁) = 3,586

К (В₂) = 3,404

К (В₃) = 2,840

 

Наибольшее значение критерия имеет первый вариант (В₁), который является предпочтительным перед остальными.

Метод расстояния (введения метрики).

Данный метод можно применять в тех случаях, когда по условиям задачи можно определить идеальное решение (В_ид), имеющий абсолютный максимум сразу по всем критериям.

Идеальное решение определяем, используя данные таблицы 4 из задачи 4. В качестве координат абсолютного максимума выбираем наибольшее значение НВП по каждому критерию, а именно:

К₁ (В_ид) = 0,714

К₂ (В_ид) = 0,637

К₃ (В_ид) = 0,333

К₄ (В_ид) = 0,481

К₅ (В_ид) = 0,481

К₆ (В_ид) = 0,637

К₇ (В_ид) = 0,481

К₈ (В_ид) = 0,778

 

На основе выявленных данных подсчитаем значение меры расстояния для каждого варианта решения, используя функцию Минковского:

 

, где

 

p - постоянная Минковского.

1. Расстояние Хемминга ( p = 1).

d_xeм (В₁) = 0,293 |0,714-0,714| + 0,251 |0,105-0,637| + 0,170 |0,333-0,333| +

+ 0,116 |0,114-0,481| + 0,077 |0,114-0,481| + 0,039 |0,637-0,637| +

+ 0,037 |0,114-0,481| + 0,017 |0,111-0,778| =

= 0 + 0,1335 + 0 + 0,0425 + 0,0282 + 0 + 0,0135 + 0,0113 = 0,2290

d_xeм (В₂) = 0,293 |0,143-0,714| + 0,251 |0,637-0,637| + 0,170 |0,333-0,333| +

+ 0,116 |0,405-0,481| + 0,077 |0,405-0,481| + 0,039 |0,105-0,637| +

+ 0,037 |0,405-0,481| + 0,017 |0,778-0,778| =

= 0,1673 + 0 + 0 + 0,0088 + 0,0058 + 0,0207 + 0,0028 + 0 = 0, 2054

d_xeм (В₃) = 0,293 |0,143-0,714| + 0,251 |0,258-0,637| + 0,170 |0,333-0,333| +

+ 0,116 |0,481-0,481| + 0,077 |0,481-0,481| + 0,039 |0,258-0,637| +

+ 0,037 |0,481-0,481| + 0,017 |0,111-0,778| =

= 0,1673 + 0,0951 + 0 + 0 + 0 + 0,0147 + 0 + 0,0113 = 0,2884

d_xeм (В₁) = 0,2290

d _xeм (В₂) = 0, 2054

d_xeм (В₃) = 0,2884

 

Наилучшим является второй вариант (В₂), так как ему соответствует наименьшее значение меры (0, 2054).

1. Расстояние Евклида ( p = 2).

d_евкл (В₁) = [0,293 |0,714 - 0,714|² + 0,251 |0,105 - 0,637|² +

+ 0,170 |0,333 - 0,333|² + 0,116 |0,114 - 0,481|² +

+ 0,077 |0,114 - 0,481|² + 0,039 |0,637 - 0,637|² +

+ 0,037 |0,114 - 0,481|² + 0,017 |0,111 - 0,778|²] ^1/2 =

= [0+0,0178+0+0,0018+0,0007+0+0,0001+0,0001] ^1/2= [0,0205] ^1/2= 0,1431

d_евкл (В₂) = [0,293 |0,143 - 0,714|² + 0,251 |0,637 - 0,637|² +

+ 0,170 |0,333 - 0,333|² + 0,116 |0,405 - 0,481|² +

+ 0,077 |0,405 - 0,481|² + 0,039 |0,105 - 0,637|² +

+ 0,037 |0,405 - 0,481|² + 0,017 |0,778 - 0,778|²] ^1/2 =

= [0,0279+0+0+0,0001+0,0001+0,0004+0,0001+0] ^1/2= [0,0286] ^1/2= 0,1691

d_евкл (В₃) = [0,293 |0,143 - 0,714|² + 0,251 |0,258 - 0,637|² +

+ 0,170 |0,333 - 0,333|² + 0,116 |0,481 - 0,481|² +

+ 0,077 |0,481 - 0,481|² + 0,039 |0,258 - 0,637|² +

+ 0,037 |0,481 - 0,481|² + 0,017 |0,111 - 0,778|²] ^1/2 =

= [0,0279+0,0090+0+0+0+0,0002+0+0,0001] ^1/2 = [0,0372] ^1/2 = 0, 1928

Наилучшим является первый вариант (В₁), так как ему соответствует наименьшее значение меры (0,1431).

3. Расстояние по максимальному различию ( p = ∞).

В данном случае берётся максимальное различие между критериями по формуле:

 

d _xeм (В₁) = 0,251 |0,105-0,637| = 0,1335

d_xeм (В₂) = 0,293 |0,143-0,714| = 0,1673

d_xeм (В₃) = 0,293 |0,143-0,714| = 0,1673

 

Наилучшим является первый вариант (В₁), так как ему соответствует наименьшее значение меры (0,1135).

4. Расстояние по минимальному различию ( p = - ∞).

В данном случае берётся минимальное различие между критериями по формуле:

 

d _xeм (В₁) = 0,293 |0,714 - 0,714| = 0

d_xeм (В₂) = 0,251 |0,637 - 0,637| = 0

d_xeм (В₃) = 0,116 |0,481 - 0,481| = 0

 

С учётом числа и веса критериев наилучшим является первый вариант (В₁).

Вывод.

После произведённых расчётов было выявлено что:

вариант В₁ - частная фирма является предпочтительным по следующим методам:

методу главного критерия,

по свёртке по наилучшему критерию,

по аддитивной свёртке,

по методу расстояния при р = 2, p = ∞, p = - ∞;

вариант В₂ - государственное предприятие является предпочтительным по следующим методам:

по свёртке по наихудшему критерию с учётом важности критериев,

по мультипликативной свёртке,

по методу расстояния при р = 1;

вариант В₃ - учебный институт является предпочтительным по:

свёртке по наихудшему критерию без учёта важности критериев.

Но поскольку в при решении задачи была применена аддитивная свёртка (плавное убывание весов критериев), то наилучшим вариантом следует считать вариант В₁ - частная фирма, полученный по этой свёртке.

Задача № 6

 

Условие задачи.

По результатам опроса экспертов составлена таблица оценок m вариантов решения некоторой проблемы по n критериям. Использованы балльные оценки по пятибалльной шкале и словесные оценки, причём большей оценке соответствует лучшее значение критерия.

Таблица 1.

Варианты решения	Значения критериев
	К1	К2	К3	К4	К5	К6	К7	К8	К9	К10
В1	2	Н	2	3	С	2	3	4	4	В
В2	4	ОВ	3	3	С	5	4	4	4	В
В3	3	В	3	2	Н	4	3	2	1	С
В4	4	ОВ	3	3	Н	5	4	3	4	В
В5	1	С	3	2	ОН	3	2	4	2	Н
В6	5	В	4	4	С	4	5	4	4	В
В7	4	В	4	4	ОН	3	4	2	3	С
В8	3	ОН	4	3	С	4	3	3	2	С
В9	4	В	4	3	В	3	4	4	4	В
В10	5	ОВ	4	3	В	4	5	4	4	ОВ
В11	3	С	2	2	С	3	4	3	1	В
В12	2	В	3	3	В	4	4	4	4	С
В13	5	В	4	3	В	4	5	4	4	ОВ
В14	4	ОВ	4	4	В	4	5	4	4	ОВ
В15	3	С	4	4	В	4	5	4	4	С

 

По данным таблицы, считая все критерии одинаково важными, требуется:

выделить множество Парето-решений;

представить результаты сравнения оставшихся вариантов в виде диаграммы в полярных координатах (каждая координата - отдельный критерий);

используя диаграмму, определить, какой вариант решения является предпочтительным;

проверить результаты выбора, используя подходящую свёртку критериев;

оценить ошибку выбора, при условии, что ошибка оценок таблицы составляет (0,1 + 0,1 x i).

Для получения варианта задания следует вычеркнуть из исходной таблицы i-й столбец и i-ю строку, а также j-й столбец и j-ю строку (оставшиеся строки и столбцы не перенумеровываются).

Данные для решения задачи.

Таблица 2.

Варианты решения	Значения критериев
	К1	К2	К4	К5	К6	К7	К8	К10
В1	2	Н	3	С	2	3	4	В
В2	4	ОВ	3	С	5	4	4	В
В4	4	ОВ	3	Н	5	4	3	В
В5	1	С	2	ОН	3	2	4	Н
В6	5	В	4	С	4	5	4	В
В7	4	В	4	ОН	3	4	2	С
В8	3	ОН	3	С	4	3	3	С
В10	5	ОВ	3	В	4	5	4	ОВ
В11	3	С	2	С	3	4	3	В
В12	2	В	3	В	4	4	4	С
В13	5	В	3	В	4	5	4	ОВ
В14	4	ОВ	4	В	4	5	4	ОВ
В15	3	С	4	В	4	5	4	С

 

Словесные оценки, используемые в таблице:

ОВ - очень высокое значение (5),

В - высокое значение (4),

С - среднее значение (3),

Н - низкое значение (2),

ОН - очень низкое значение (1).

Решение.

Множество Парето-решений.

Множество Парето состоит из вариантов решений, которые по всем критериям не хуже остальных и хотя бы по одному критерию лучше остальных. Построение множества Парето происходит путём попарного сравнения альтернатив. Альтернативы из него называются Парето-решениями.

Итак, пользуясь данными таблицы 2, выделим множество Парето-решений в попарном сравнении вариантов, начиная с варианта В₁, то есть сравним его с вариантами В₂, В₄ и так далее. Для этого составим сравнительные таб