Функциональный ряд: определения и основные понятия. Область сходимости функционального ряда.
Определение степенного ряда. Теорема Абеля. Радиус сходимости. Способы определения радиуса сходимости степенного ряда.
Дифференцирование и интегрирование степенных рядов.
Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение в ряд Маклорена функции . Разложение в ряд Маклорена функций и . Области сходимости этих рядов.
Разложение в ряд Маклорена биномиальной функции ; область сходимости этого ряда. Разложение в ряд Маклорена функций ; области сходимости этих рядов.
Применение степенных рядов для приближенного вычисления функций. Оценка погрешности.
[1]: гл.XIV, §65;
[2]: гл.XVI, §20,21.
5
Применение степенных рядов для приближенного вычисления определенных интегралов. Оценка погрешности.
[1]: гл.XIV, §65;
[2]: гл.XVI, §21.
6
Тригонометрический функциональный ряд. Тригонометрический ряд для функции, заданной на отрезке Теорема Дирихле о сходимости ряда Фурье для функции, заданной на отрезке
Ряд Фурье для функции с периодом . Ряд Фурье для функции с произвольным периодом. Ряды Фурье для четной и нечетной функции.
Разложение в ряд Фурье функции, заданной в интервале .
Числовой последовательностью называется упорядоченный набор нумерованных чисел , представляющая собой функцию
, (1)
заданную на множестве натуральных чисел. Числа называются соответственно первым, вторым и так далее членами последовательности. Число , задаваемое формулой (1), называется общим членом последовательности.
В последовательностях и рядах широко используется функция натурального аргумента
,
представляющая собой произведение первых натуральных чисел. Обозначение читается как «эн факториал».
Пусть u 1 , u 2 , u 3 ,…, un ,…, где un = f ( n ) , - бесконечная числовая последовательность. Тогда выражение
(2)
называется числовым рядом.
Числа называются членами ряда. При этом
,
называется общим членом ряда. Ряд считается заданным, если задана формула для . Нумерация членов ряда, вообще говоря, может начинаться с любого целого числа.
Сумму первых членов ряда по n-ный включительно обозначают Sn и называют n-ной частичной суммой ряда, т.е.
Сумму остальных слагаемых, начиная с -го, называют n -ным остатком числового ряда и обозначают , т.е.
Согласно определению (2), остаток числового ряда можно рассматривать как самостоятельный числовой ряд.
Предел последовательности частичных сумм при , если он существует, называется суммой ряда и обозначается буквой S , т.е.
.
Если существует, т.е. если сумма S есть конечное число, то говорят, что ряд (2) сходится. В противном случае говорят, что ряд (2) расходится.
Частный случай числового ряда – геометрический ряд, представляющий собой сумму бесконечной геометрической прогрессии:
.
Его частичная сумма:
.
При этом если , то геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, и геометрический ряд имеет конечную сумму
.
В случаях, когда , геометрический ряд расходится, т.е. конечной суммы не имеет.