Способы задания прямой на плоскости

Уравнение прямой на плоскости по точке и направляющему вектору

Определение: Направляющим вектором прямой (на плоскости или в пространстве) называется любой ненулевой вектор, параллельный этой прямой.

Направляющий вектор прямой будем обозначать`S, а так как вектор взят на плоскости, то у него две координаты:`S = (m, l).

Обозначим прямую буквой L (рис.1).

Пусть даны: точка M₀(x₀, y₀) на прямой L и направляющий вектор`S = (m, l) этой прямой. Надо записать уравнение прямой L.

► Если M(x, y) – произвольная точка прямой L, то вектор  коллинеарен вектору`S. Согласно необходимому признаку коллинеарности двух векто-ров одноименные координаты этих векторов пропорциональны т. е.

.

Если же точка M₁(x₁,y₁) не принадлежит прямой, то вектор  не коллинеарен вектору  и . Окончательно получаем:

Уравнение прямой на плоскости по точке M₀(x₀, y₀) и направляющему вектору`S = (m, l) имеет вид:

 ◄

Уравнение прямой по двум заданным точкам

Пусть даны: координаты двух точек M₁(x₁, y₁) и M₂(x₂, y₂), принадлежащих прямой. Требуется записать уравнение этой прямой (рис. 2).

► Известны координаты двух точек M₁(x₁, y₁) и M₂(x₂, y₂), принадлежащих прямой, тогда в качестве направляющего вектора можно взять

 (или ), а в качестве заданной точки – любую из точек M₁ или M₂. Возьмем, например M₁. Применим способ задания прямойп. 2.1(по точке и направляющему вектору). Отсюда следует, что

Уравнение прямой на плоскости, проходящей через две заданные точки M₁(x₁, y₁) и M₂(x₂, y₂),имеет вид:

 ◄

Уравнение прямой на плоскости по точке и угловому

Коэффициенту

Определение. Углом наклона прямой к оси OX называется угол a, на который нужно повернуть против часовой стрелки положительную полуось OX так, чтобы она совпала с прямой либо стала параллельно этой прямой. 0 ≤ a ≤ p.

Определение. Угловым коэффициентом прямой на плоскостиназывается тангенс угла наклона прямой к оси OX:

k = tg a

k = tga > 0 Рис. 3 а	k = tga < 0 Рис. 3 б
k = tga = 0   Рис. 3 в	Рис. 3 г

Если прямая L параллельна оси OX, то a = 0, тогда k = tga = 0 (рис. 3 в).

Уравнение прямой, параллельной оси OX и проходящей через точку M₀(x₀, y₀)имеет вид:  y = y₀.

Если прямая перпендикулярна оси OX, то a = ^p/₂, и угловой коэффициент такой прямой не существует (рис.3 г).

Уравнение прямой, перпендикулярной оси OX и проходящей через точку M₀(x₀, y₀) имеет вид: x = x₀.

Пусть a ¹ 0, a ¹ ^p/₂. Составим уравнение прямой, которая проходит через точку M₀(x₀, y₀) и имеет угол наклона a к оси OX (рис 3а, 3б).

► Рассмотрим единичный вектор `S<sub>0</sub>, который образует угол a с положительным направлением оси  OX. Координаты вектора `S₀ = (cos a, sin a) (согласно определению cos a и sin a). Возьмем вектор`S<sub>0</sub> как направляющий вектор прямой L. Запишем уравнение прямой L по точке M<sub>0</sub>(x<sub>0</sub>, y<sub>0</sub>) и направляющему вектору`S₀(рассмотренный случай п. 2.1):

.

Умножим обе части этого равенства на sin a (a ¹ 0), получим  или y – y₀ = k(x – x₀). Итак, мы доказали, что

Уравнение прямой на плоскости по точке M₀(x₀, y₀)и угловому коэффициенту k = tga  имеет вид:

y – y₀ = k(x – x₀) ◄

Замечание. В частном случае, когда a = 0, получается уравнение прямой, параллельной оси OX (горизонтальной прямой): y – y₀ = 0

 .

Если прямая перпендикулярна оси OX, то невозможно написать ее уравнение с угловым коэффициентом.

Уравнение вертикальной прямой x – x₀ = 0 .

2.4 Уравнение прямой на плоскости по угловому коэффициенту и отрезку

Пусть даны: угловой коэффициент k = tgaпрямой L и отрезок b , отсекаемый прямой на оси OY (рис. 5). Требуется записать уравнение прямой L.

► Если в качестве точки M₀ взять точку пересечения прямой с осью OY, т. е. точку M₀(0, b), то согласно случаю п. 2.3 задания прямой, уравнение прямой L принимает вид:            y – b = k (x – 0) или : y = kx + b. ◄

Число b называется начальной ординатой прямой L, |b| – это длина отрезка от начала координат до точки пересечения прямой с осью OY.

Уравнение прямой по угловому коэффициенту k и отрезку b, отсекаемому прямой на оси OY, имеет вид:

y = kx + b ◄