Аналитической геометрии в пространстве
Тема 2. Аналитическая геометрия Лекция 5 Аналитическая геометрия в пространстве. Плоскость §1. Уравнение линии. Две основные задачи аналитической геометрии на плоскости. §2. Плоскость в пространстве. Уравнение плоскости по точке и нормальному вектору. Общее уравнение плоскости. §3. Исследование общего уравнения плоскости. §4. Взаимное расположение двух плоскостей. Уравнение поверхности. Две основные задачи аналитической геометрии в пространстве Определение. Уравнением поверхности в выбранной системе координат называется такое уравнение F(x, y, z) = 0, связывающее три независимые переменные x, y и z, которому удовлетворяют координаты любой точки на поверхности Q и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не лежащей на этой поверхности. Входящие в это уравнение координаты x, y, z произвольной точки поверхности, называются текущими координатами поверхности. Точка M1 Î Q, тогда F(x1, y1, z1) = 0, точка M2 Ï Q,тогда F(x2, y2, z2) ¹ 0. Не каждое уравнение вида F(x, y, z) =0, связывающее независимые переменные x, y и z, определяет поверхность Примеры. 1. Рассмотрим уравнение z = 0. Ему удовлетворяют все точки M(x, y, 0), лежащие в плоскости OXY , и только они. Следовательно, это уравнение задает координатную плоскость OXY. 2. Рассмотрим уравнение (x + 1)2 + (y – 2)2 = 0. Этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на прямой, которая проходит через точку M(–1, 2, 0) параллельно оси OZ, и не удовлетворяют координаты никакой другой точки. 3. Уравнению x2 + y2 + z2 = 0 удовлетворяет только одна точка O(0, 0, 0) – начало координат. Уравнению x2 + y2 + z2 = –1 (или, проще, x2 = –1) не удовлетворяет ни одна точка пространства R3. Первая задача аналитической геометрии в пространстве заключается в следующем. Дана поверхность с известными геометрическими свойствами. Нужно составить уравнение этой поверхности в какой-либо системе координат. Пример. Пусть в пространстве выбрана некоторая прямоугольная система координат. Составим уравнение сферы радиуса R с центром в точке C(x0, y0, z0) = 0. Определение.Сфера-это множество точек M, удаленных от фиксированной точки C, называемой центром сферы, на расстояние R. Пусть M(x, y, z) – произвольная точка сферы, тогда . , . Так как, точка M(x, y, z) = 0 лежит на сфере, то она удовлетворяет уравнению , или (x – x0)2 + (y – y0)2 + (z – z0)2 = R2, С другой стороны, для любой точки M1(x1, y1 z1), не принадлежащей сфере, |CM1| ¹ R, значит, координаты точки M1 полученному уравнению не удовлетворяют. Следовательно, уравнение сферы имеет вид:
Вторая задача аналитической геометрии в пространстве заключается в следующем. В некоторой системе координат дано уравнение F(x, y, z) = 0. Нужно установить: какое множество точек (кривую, поверхность) оно задает, и изучить геометрические свойства этого множества. Пример. В прямоугольной системе координат задано уравнение x2 + y2 + z2 + 2x – 4y – 20 = 16. Выделив полные квадраты по переменным x и y, получаем (x + 1)2 + (y – 2)2 + z2 – 20 = 0 или . Таким образом, расстояние от любой точки M(x, y,z) этой повер-хности до точки C(–1, 2, 0) равно 5. Значит, рассматриваемая поверх-ность является сферой радиуса R = 5 с центром в точке C(–1, 2, 0).
Популярное: Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (194)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |