Передаточные функции и дифференциальные уравнения системы

Содержание

 

Введение……………………………………………………………………. Лабораторная работа № 1 Изучение частотных и временных характеристик систем РА с помощью пакетов прикладных программ AUTO.EXE. или SamSim.. 4 Лабораторная работа № 2 Исследование устойчивости систем РА. 17 Лабораторная работа № 3 Корректирующие устройства и оценки качества систем РА.……………………………………………………………………….. Список литературы.. 43

4      5 17   20 23

Введение

Электронное учебное пособие предназначено для студентов по специальности 11.05.01  «Радиоэлектронные системы и комплексы» и направлению подготовки 11.03.01 «Радиотехника». Пособие составлено в соответствии с рабочей программой дисциплины  «Радиоавтоматика».

Целью преподавания дисциплины является изучение студентами  основ построения систем радиоавтоматики (РА) для радиотехнических систем и современных методов их анализа и синтеза.

По каждой теме предложены задания, сделаны методические указания и выводы.

Пособие позволяет самостоятельно проработать курс в объеме, предусмотренном рабочей программой. Может быть использовано и  при заочной форме обучения.

 

Вернуться к содержанию

 

Лабораторная работа № 1

Изучение частотных и временных характеристик систем РА с помощью пакетов прикладных программ AUTO . EXE . или SamSim

        Цель: закрепить теоретические сведения по курсу и ознакомиться с методами исследования и расчета параметров звеньев радиоавтоматики (с использованием свободного (бесплатного) пакета AUTO.EXE).

 

Теоретический материал

Предмет изучения дисциплины «Радиоавтоматика» – системы радиоавтоматики, охватывающие широкий класс автоматических систем, применяемых в радиолокации, радионавигации, радиосвязи, радиоуправ- лении и других областях радиоэлектроники.

Отличительной особенностью таких систем является использование радиосигналов для управления, а сами объекты управления – радиотехнические устройства (генераторы, усилители, антенны и пр.). Необходимая для управления информация содержится в том или ином параметре сигнала (амплитуде, частоте, фазе, времени запаздывания, направлении прихода) и выделяется в результате обработки сигнала. Сходство систем радиоавтоматики (РА) с автоматическими системами другого назначения определяется, прежде всего, единством теории – теории автоматического управления, а также общностью многих элементов, из которых строятся эти системы (усилители, корректирующие и исполнительные элементы, управляющие ЭВМ и др.).

 

Передаточные функции и дифференциальные уравнения системы

Передаточной функцией звена или системы W(p) (в форме преобразования Лапласа) называется отношение изображения выходной величины Х_вых(р) к изображению входной величины Х_вх(р) при нулевых начальных условиях:

(1)

Функция времени х_вых(t) преобразуется в функцию Х_вых при помощи прямого преобразования Лапласа wj±s(р) комплексного аргумента p=

(2)

В общем виде передаточная функция любой системы представляет собой отношение двух полиномов

(3)

Пусть q₁, q₂ …q_m – корни уравнения Q(p)=0 (нули передаточной функции); р₁, р₂, …р_n – корни уравнения P(p)=0 (полюса передаточной функции).

Тогда передаточную функцию системы можно записать через соответствующие корни уравнений числителя и знаменателя в виде элементарных сомножителей

(4)

Вынесем q_i и p_j за скобки и обозначим , .

В зависимости от вида корней (действительные или комплексно-сопряженные) выражение для передаточной функции можно представить состоящим из следующих элементарных звеньев

(5)

Это будут звенья с передаточным функциями:

1. Усилительное звено W(p)=k.

2. Инерционное (апериодическое) звено .

3. Интегрирующее звено .

4. Чисто дифференцирующее звено W(p)=kp.

5. Колебательное звено .

6. Дифференцирующие (форсирующие) звенья первого и второго порядка W(p)=(1+Tp), W(p)=1+2 x Tp+T²p².

7. Звено чистого запаздывания .

Полагая р равным оператору дифференцирования из передаточной функции звена сразу получаем дифференциальное уравнение. Например, для апериодического звена

; ;

Раскрывая пропорцию и полагая , получим линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка

; (6)

 

                  

 Назначение программы AUTO.EXE

Программа AUTO.EXE предназначена для изучения и расчета характеристик системы (звена) радиоавтоматики (РА) по её передаточной функции W(p).

При этом предусмотрено выполнение следующих операций:

1. Ввод передаточной функции системы;

2. Настройка параметров программы;

3. Получение графиков и таблиц данных для:

   а) АЧХ действительной части W(p) - P(ω);

   б) АЧХ мимой части W(p) - Q(ω );

   в) АЧХ и ФЧХ всей системы;

   г) совмещенных графиков АЧХ и ФЧХ;

   д) совмещенных графиков LАЧХ и LФЧХ;

   е) АФЧХ всей системы;

   ж) переходной характеристики системы - h(t).

Начало работы с программой. Для установки программы необходимо создать на любом диске директорию (например AUTO) и скопировать в нее файлы AUTO.EXE и EGAVGA.BGI. Для запуска программы нужно подвести курсор к файлу с названием AUTO.EXE и нажать <ENTER>.

При запуске программы появляется следующее сообщение: 

 

ПРОГРАММА ИЗУЧЕНИЯ СВОЙСТВ ЗВЕНЬЕВ ПО ИХ

ПЕРЕДАТОЧНЫМ ФУНКЦИЯМ.

 

Передаточная функция звена вводится в виде отношения многочленов:

                                                              a_mp^m + a_m-1p^(m-1) + ... +a₁p¹ + a₀

                                                    W(p)= ─────────────────── 

                                                             b_npⁿ + b_п-1p^(п-1) ... + b₁p¹ + b₀

 

   Использовать старые данные программы ? (Y/N)

  

Если вы уже работали с программой, то для использования ваших старых данных нажмите клавишу <Y>; в противном случае нажмите любую другую клавишу. После этого на экране появится основное меню программы:

Для выбора нужного пункта нажмите соответствующую цифру:

  

1 - расчет P(ω) системы;

2 - расчет Q(ω) системы;

3 - расчет АЧХ системы;

4 - расчет ФЧХ системы;

5 - расчет АЧХ и ФЧХ системы совместно;

6 - расчет LАЧХ и ФЧХ системы совместно;

7 - расчет АФЧХ системы;

P - расчет переходной характеристики системы h(t);

8 - редактирование передаточной функции W(p) системы;

9 - настройка параметров программы.                         

ESC-выход.

 

Ввод передаточной функции системы. Для ввода передаточной функции системы нажмите клавишу <8> основного меню программы. После этого на дисплее появится следующее сообщение:

Для выбора нужного пункта нажмите соответствующую цифру:

1. Порядок числителя.............. 2;

2. Порядок знаменателя.......... 3;

3. Изменение коэффициентов в числителе;

4. Изменение коэффициентов в знаменателе.

  ESC-выход.

  Текущие коэффициенты в числителе: в знаменателе:

                                                                         b₂ = 23

                                                               a₁ = 10    b₁ = 45

                                                              a₀ = 3      b₀ = 56

 

Вначале необходимо ввести порядки степеней многочленов в числителе и знаменателе передаточной функции. Затем вводятся конкретные значения коэффициентов многочленов.

Настройка параметров программы. Для настройки параметров программы нажмите клавишу <9> основного меню. После этого на дисплее появится следующее сообщение:

 

1. Начальная частота в рад/с.......................................... 0.1 

2. Конечная частота в рад/с............................................10 

3. Коэф. для замены нуля в знаменателях дробей.. 1e+10

4. Количество точек для распечатки в файл .............100 

5. Расчеты в рад/с (1) или Гц (0)...................................... 1    

6. Количество изолиний по горизонтали...................... 10 

7. Количество изолиний по вертикали.......................... 10 

8. Max частота для переходной хар-ки в рад/с…….. 1000 

9. Кол-во отсчетов частоты для переходной хар-ки.. 300

T. Начальное время для переходной хар-ки в сек....1e-08

K. Конечное время для переходной хар-ки в сек........ 50     

 

G. Цвет графика 1................................1   Номер цвета от 1 до 15.

P. Цвет графика 2.................................2     

L. Цвет изолиний.................................1 

 B. Цвет надписей.................................1 

F. Цвет фона........................................15   

ESC - выход                                        

 

Для редактирования одного из полей нажмите соотв. цифру или букву.

В пунктах 1 и 2 задается интервал частот для всех частотных характеристик. Размерность в радианах/с или в герцах в зависимости от значения пункта 5 меню.

В пункте 4, желательное количество значений (строчек в таблице при распечатке) выбрать 15÷20.

В пункте 3 задается ограничение на значение обратной величины знаменателя ПФ (при стремлении знаменателя к нулю его обратная величина устанавливается равной этому значению).

В пунктах 6 и 7 задается число линий размерной сетки для графиков.

В пункте 8 задается максимальное значение частоты при расчете переходной характеристики. Эта величина выбирается из данных АЧХ с некоторым запасом.

Количество отсчетов в пункте 9 показывает на сколько частотных интервалов при интегрировании разбивается частота, заданная в пункте 8.

В пунктах T и K задается интервал переходной характеристики. Желательно t_max выбирать минимально необходимым, для уменьшения ошибок интегрирования.

Расчет частотных характеристик системы. Для получения графиков P(w), Q(w), АЧХ, ФЧХ, АЧХ и ФЧХ, LАЧХ и ФЧХ системы нажмите соответственно кнопку 1, 2, 3, 4, 5 или 6 основного меню программы.

Для получения графика АФЧХ системы нажмите кнопку 7. На графике АФЧХ красным цветом обозначена низкочастотная ветвь характеристики и зеленым - высокочастотная ветвь характеристики. Точка стыка ветвей соответствует частоте, равной √f_min ∙√f_max;

После просмотра графиков нажмите любую клавишу. Появится сообщение вида:

Записать полученные значения в файл ? (Y/N)

  

Если вам необходимо сохранить полученные данные на диске, то нажмите клавишу <Y>. В противном случае нажмите любую другую клавишу. После нажатия <Y> появляется строка для ввода имени записываемого файла в формате .doc:

  

Введите имя файла для записи результатов - имя.doc 

 

Расчет переходной характеристики системы. Для получения графика h(t) системы нажмите кнопку <P> основного меню программы. После этого появится следующее сообщение:

   

Выберите тип интегрирования (нажав соотв. цифру):

0 - Метод Симпсона (быстро, но неточно)           

1 - Метод Ньютона-Котеса (медленно, но точнее)    

   

По умолчанию выбирается метод Симпсона         

 

Желательно вначале оценить вид переходной характеристики, используя метод Симпсона. Затем, уточнив величину максимального времени переходной характеристики и количество точек разбиения при интегрировании, целесообразно выбрать метод Ньютона-Котеса для окончательного нахождения искомой переходной характеристики.

Примечание. Если время переходной характеристики задано слишком большим, то в конце переходной характеристики появляются искажения колебательного характера, обусловленные конечной точностью вычисления значений интеграла.

Искажения можно уменьшить, увеличивая количество точек разбиения или уменьшая время переходной характеристики .

После изучения графика переходной характеристики нажмите любую клавишу для выхода в основное меню.

Завершение работы с программой. Для завершения работы с программой выйдите в основное меню и нажмите клавишу <ESC>. При этом ваши настройки программы и параметры передаточной функции будут сохранены на диске в текущей директории в файле с именем auto.dat.

Совместимость с более поздними версиями Windows. При использовании поздних версий Windows могут возникнуть проблемы при использовании программы AUTO.EXE (ошибка при запуске, вылет программы при построении графиков, неправильная кодировка отображения шрифтов). Чтобы этого избежать рекомендуется использовать приложение DOSBox.

Установка DOSBox. В папке DOSBox инсталлятор и архив с русификатором DOSBox-russian-lang-072.zip.

1. Запускаем инсталлятор DOSBox0.71-win32-installer.exe и устанавливаем программу в нужный каталог или в стандартную директорию C:\Program Files\DOSBox-0.71

2. Открываем папку, в которую установили DOSBox (в данном случае C:\Program Files\DOSBox-0.71). Распаковываем содержимое архива DOSBox-russian-lang-072.zip в папку с DOSBox’ом. Программа установлена и готова к работе.

Практическая часть

Работа с программой.

1. Для удобства папку с программой AUTO.EXE положим на диск С по следующему пути C:\AVTO\

2. Запускаем программу C:\Program Files\DOSBox-0.71\dosbox.exe или через ярлык на рабочем столе, появится следующее окно

3. В появившемся текстовом окне (это ДОС) внизу появится командная строка Z:\> . В командной строке пишем следующее без кавычек «mount X: C:\AVTO\» (или ту директорию где лежит приложение AUTO.EXE), должно появиться следующее сообщение

4. Далее пишем в командной строке без кавычек «X:», строка Z:\> должна смениться на X:\>, после чего запускаем программу прописав в этой строке AUTO.EXE. Запустится сама программа и можно приступать к построению графиков

 

РАБОЧЕЕ ЗАДАНИЕ

Задание 1. Исходные данные.

Схема.

 

Вид передаточной функции

W0	W1	W2
К0	К1 Т1р+1	К2

Численные значения передаточной функции

К0	К1	К2	Т1	Т2
10	1	100	0,1	10

 

Задание 2. Выполнить поэтапное преобразование исходной схемы.

Задание 3. Вычислить передаточные функции:

- разомкнутой системы;

- замкнутой системы;

- по ошибке для замкнутой системы.

 

Задание 4. Построить графики и таблицы для разомкнутой системы:

- P (ω );

- Q (ω );

- АФЧХ ;

- L АЧХ и ФЧХ совместно.

Задание 5. Построить графики и таблицы для замкнутой системы:

 - АФЧХ;

 - АЧХ и ФЧХ совместно;

 - L АЧХ и L ФЧХ совместно;

 - h ( t );

 - P (ω);

 - Годограф Михайлова (АФЧХ характеристического полинома).

Результаты лабораторной работы необходимо предоставить в бумажном  виде. При отчете необходимо знать ответы на контрольные вопросы.

Контрольные вопросы

1. Понятие функциональной и структурной схем систем радиоавтоматики (РА).

2. Фундаментальные принципы управления (принцип разомкнутого управления, принцип  компенсации).

 3. Фундаментальные принципы управления (принцип обратной связи).

 4. Основные виды алгоритмов функционирования систем РА (стабилизация, программное управление, следящие системы).

 5. Основные виды алгоритмов функционирования систем РА (системы с поиском экстремума показателя качества, оптимальное управление, адаптивные системы).

 6. Понятие и определение передаточной функции (передаточная функция в операторном виде и в форме преобразования Лапласа).

7. Частотные характеристики систем РА (АЧХ, ФЧХ, LAЧX, L ФЧХ).

8. Временные характеристики систем РА [ h ( t ) и ω(t) ].

Вернуться к содержанию