Соотношение неопределенностей Гейзенберга.

Нельзя со сколь угодной точностью одновременно измерить координату и импульс микрообъекта: D q · Dp _q ³ h

В квантовой механике не существует понятия траектории частиц, а следовательно - идругих динамических характеристик.

, где     и h  - постоянная Планка,

Dр_Х и Dx – точность измерения импульса и координаты

Для других сопряженных величин – энергии E и времени t соотношение неопределенностей, имеет вид:
Это означает, что при характерном времени эволюции системы Δt , погрешность определения ее энергии не может быть меньше чем ħ /2 .

Наиболее интересным является случай для трехмерного пространства:

                                Dр_Х *Dр_Y *Dр_Z*Dx*Dy*Dz » ħ³/8 » V

где V – определяет объем, к котором может существовать частица (электрон, атом) .

В квантовой химии такой объем обозначают часто как -  ячейка.

2. Уравнение Луи де-Бройля.

                          l_Б = h/ p , где р = mv – равен импульсу частицы.

Формулировка – Любой частицы, обладающей импульсом р, соответствует длина волны Де-Бройля.

Рассмотрим примеры:значение l_Б у макроскопического объекта пылинка с m = 1мг = 10^{-6 кг,} а скорость 1 мкм/с = 10^-6 м/с тогда

                          l_Б = 6,62*10^-34 Дж*сек/10^-6*10^-6 = 6,62*10^{-22 м == 6,62*10-20}см ,

т.е. волна де-Бройля значительно меньше размеров самого объекта, волновые свойства не проявляются.

С другой стороны для электрона (10^{-8 см.).}

m_е = 9.1066*10^{-31 кг и} v = 2,2*10⁶ м/ c

                          l_Б = 6,62*10^-34 Дж*сек/9.1066*10^{-31 кг} *2,2*10⁶ м/ c

                               = 3,3*10^{-10 м = 3,3*10-8}с м.

Длина волны  l_Б соизмерима с размерами электрона – следовательно электрон проявляет волновые свойства.

              Постулаты квантовой механики.

Постулат 1.

Систему частиц можно характеризовать функцией Ψ ( q₁,… q_n t), которая называется волновой функцией, и через которую определяются все измеримые величины для системы из n частиц, где q -пространственные координаты и t – время. Для стационарных систем Ψ является функцией только координат.

Запомните !!!! Ψ не имеет физического смысла.

Физический смысл имеет произведение  эта величина определяет вероятность нахождения координат частиц в объеме . Такую интерпретацию дал Борн. А поскольку каждая частица обязательно должна быть в какой-то точке пространства, то интегрирование по всему 3 n -мерному пространству дает:

                    т.е. достоверность

Итак,  -  величину часто называют плотностью вероятности частицы и тогда сама -амплитуда плотности вероятности, а -вероятность нахождения частицы в объеме

Волновая функция должна обладать рядом свойств. Она должна быть:

· однозначной

· непрерывной

· конечной

Функции, удовлетворяющие этим требованиям, называются регулярными или

 кривыми класса Q.

Для функции от одного переменного только три из этого класса удовлетворяют постулатам квантовой химии:

j( q) = Asinkq

j( q) = Acoskq

j₁( q) = Aexp (- kq )

Все указанные формулы связаны формулой Эйлера :

 exp( ± ix) = cos(x) ± i*sin(x) 

Допустимы также функции, которые можно математически привести к указанным трем разрешенным функциям.

Например: j( q) = A(1 - 2 sin2 kq ) ≡ Ас os 2 kq

Функции от двух (x,у) или трех (х,у,z) построены на такому же принципу:

j( x, y, z)) = X( x)* Y( y)* Z( z), т.е. каждая часть функции подчиняется свойствам волновой функции.

Например волновая функция для атомной орбитали 2рх- АО :

j (r, q , j )) = А * sin(k q )*с os (k’ j )*exp(-k”r)

Есть произведение трех разрешенных функций

Математические функции преобразования стандартных функций.

sin(2x) = 2sin(x)*cos(x)

cos(2x) = cos²x –sin²x = 1-2sin²x = 2cos²(x) -1

sin(x) + sin(y) = 2sin[(x+y)/2]*cos[( x-y)/2]

Пример экзаменационного вопроса

1. Постулат квантовой механики о волновой функции y. Свойства волновой функции. Математический вид волновой функции, зависящей от одной переменной. Покажите, какая из приведенных функций удовлетворяет свойствам и почему: y₁( x)= Acos ( kx ), y₂( x) = Btg ( kx ), y₃( x) = Cx ² .