ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ
С помощью принципа возможных перемещений решаются задачи статики, а принцип Даламбера позволяет методами статики решать задачи динамики. Если эти два принципа объединить, придем к общему уравнению динамики. Для этого достаточно к уравнению принципа возможных перемещений добавить работу сил инерции на элементарном перемещении системы (1) Уравнение (1) – общее уравнение динамики, оно выражает принцип Даламбера –Лагранжа: при движении механической системы с идеальными связями сумма элементарных работ активных сил и сил инерции на любом возможном перемещении равна нулю. В аналитической форме эта сумма рассчитывается по всем координатным осям: (2) Задача 1. На рис. показан центробежный регулятор, вращающийся с угловой скоростью ω. Вес шаров D1 и D2 равен р; вес муфты С1С2 – Q. Определить угол α, если OD1 = OD2 = l; OB1 = OB2 = B1C1 = B2C2 = b.
Решение. К активным силам добавляем . Сила инерции муфты равна нулю, так как ω постоянна. По формуле 2 запишем проекции всех элементарных работ на оси координат (3) Силы инерции шаров Выразим координаты, входящие в (3), через геометрические параметры, включающие угол α. Дифференцируем эти выражения по углу α, получаем Подставляем эти значения в формулу (1) После сокращений и преобразований получаем Чтобы знаменатель не был больше числителя, должно выполняться условие Чем больше угловая скорость, тем больше угол α. При бесконечно большой ω угол α стремится к значению 90о.
ОБОБЩЕННЫЕ КООРДИНАТЫ У механической системы с геометрическими связями (голономные системы) число независимых координат совпадает с числом степеней свободы.
У данной системы есть разные варианты выбора независимых координат в виде параметров: длины, угла, площади и т.д. Эти параметры, определяющие положение системы, называются обобщенными координатами и обозначаются буквой q. Если система имеет s степеней свободы, обобщенными координатами будут Их элементарные приращения . Любую декартову координату можно выразить через обобщенные координаты Например, у маятника с одной степенью свободы обобщенной координатой может быть угол ϕ, площадь σ или длина дуги s. Если принять ϕ, декартовы координаты х, у можно выразить через обобщенную координату ϕ:
Рис. 1 У двойного маятника две степени свободы, за обобщенные координаты можно выбрать углы ϕ и Ψ. Они независимы, так как угол ϕ не определяет величину угла Ψ.
Рис. 2 При движении системы обобщенные координаты изменяются во времени (1) Уравнения (1) это кинематические уравнения движения системы в обобщенных координатах. Обобщенные скорости системы:
( и т.д.). Скорости могут быть линейными, угловыми и т.д. в зависимости от обобщенной координаты. От обобщенных координат любого вида можно перейти к декартовым координатам, получим зависимости вида: (2) Радиус-вектор любой точки можно выразить через декартовы координаты: (3) На основании формул (2,3) можно записать (4)
ОБОБЩЕННЫЕ СИЛЫ Пусть на систему из n материальных точек действуют силы Пусть система имеет s степеней свободы (столько же обобщенных координат). Дадим системе возможное перемещение за счет приращения δq1 только одной координаты q1. При этом радиус-вектор каждой точки получит какое-то свое приращение . Оно вычисляется как частный дифференциал: (5) Элементарная работа всех действующих на систему сил составит (6) Запишем уравнение (6) в виде (7) где обозначено (8) Величинe Q1 называют обобщенной силой, соответствующей обобщенной координате q1. Если бы изменялась только координата q2, мы бы получили элементарную работу δА2 и т.д. Если одновременно изменяются все координаты получим полную элементарную работу всех действующих на систему сил в обобщенных координатах: (9) В этом выражении коэффициенты при приращениях обобщенных координат – обобщенные силы. Порядок определения обобщенных сил: 1) устанавливаем число степеней свободы системы; 2) выбираем обобщенные координаты; 3) показываем на расчетной схеме все активные силы (реакции идеальных связей не показываем); 4) даем обобщенной координате q1 положительное приращение δq1; 5) вычисляем при этом перемещении сумму элементарных работ всех действующих сил; 6) записываем полученные результаты в виде (7), коэффициент при δq1 и есть искомая обобщенная сила Q1. Точно так же определяется обобщенная сила Q2 в случае двух степеней свободы. Если все действующие на систему силы являются потенциальными (сила тяжести и сила упругой деформации…), обобщенные силы можно определить через потенциальную энергию системы: (10) Следовательно, нужно составить уравнение потенциальной энергии системы и взять со знаком минус частную производную по соответствующей обобщенной координате.
Популярное: Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (237)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |