Понятие обратной матрицы
Напомним, что 2 числа называются обратными, если их произведение равно единице, и по аналогии введём понятие обратной матрицы А . Пусть А – квадратная матрица n-го порядка, Е – единичная матрица того же порядка. Определение: Матрица А называется обратной матрице А, если АА =А А=Е Теорема: Для того, чтобы матрица А имела обратную, необходимым и достаточным является условие: Определение: Квадратную матрицу А, определитель которой не равен нулю, будем называть невырожденной. Обратная матрица определяется по формуле: , где А - алгебраические дополнения элементов в определителе . Алгебраические дополнения для строк матрицы А записываются столбцы матрицы.
Пример. Найти матрицу, обратную заданной. Решение. Пусть дана матрица . Вычислим её определитель . Cледовательно, А – невырожденная матрица, и обратная ей матрица существует. Вычисляем алгебраические дополнения матрицы А:
,
Отсюда . Ранг матрицы Дана прямоугольная матрица А= Выделим в этой матрице произвольных строк и произвольных столбцов ( ). Определение: Определитель -го порядка, составленный из элементов матрицы , расположенных на пересечении выделенных строк и столбцов, называется минором -го порядка матрицы . Матрица имеет миноров -го порядка . Рассмотрим всевозможные миноры матрицы , отличные от нуля. Определение: Рангом матрицы называется наибольший порядок минора этой матрицы, отличного от нуля. Замечание: Если все элементы матрицы равны нулю, то ранг этой матрицы принимают равным нулю. Определение: Всякий отличный от нуля минор матрицы, порядок которого равен рангу этой матрицы, называется базисным минором матрицы. Ранг матрицы будем обозначать r ( A ). Определение: Если r ( A )= r ( B ), то матрицы А и В называются эквивалентными (А~ B ). Ранг матрицы не изменится от элементарных преобразований, под которыми понимают: 1) замену строк столбцами, а столбцов – соответствующими строками; 2) перестановку строк матрицы; 3) вычеркивание строки, все элементы которой равны нулю; 4) умножение какой-либо строки на число, отличное от нуля; 5) прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки. Пример. Определить ранг матрицы К элементам первой строки прибавим соответствующие элементы третьей, затем разделим на 4 элементы первой строки.Из элементов первой строки вычтем соответствующие элементы второй строки, после чего вычеркнем первую строку: ~ ~ . Ранг последней матрицы равен 2, так как, например, r(A)=2 ГЛАВА II СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Основные понятия , (1)
где - свободные члены; - неизвестные; - коэффициенты при неизвестных. Определение: Решением системы (1) называется любой набор , которые при подстановке на место соответствующих неизвестных обращают каждое уравнение системы в верное числовое равенство.
Классификация систем линейных уравнений В зависимости от количества решений, которыми обладает система линейных уравнений, они классифицируются следующим образом. Определение: Система (1) называется совместной, если она имеет, по крайней мере, одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения. Совместные системы могут иметь или единственное решение, или бесконечное множество решений. Определение: Совместная система, имеющая единственное решение, называется определённой. Определение: Совместная система, имеющая бесконечное множество решений, называется неопределённой.
Популярное: Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (256)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |