Основные положения теории подобия (теоремы подобия)
12
Основные положения теории подобия заключены в теоремах подобия, которые лежат в основе практического применения теории подобия. Первая теорема подобия (теорема Ньютон-Бертрана): подобные явления характеризуются численно равными критериями подобия. Теорема была сформулирована Ньютоном. Она устанавливает, что единственным количественным условием подобия процессов является равенство критериев подобия натуры и модели. Отсюда очевидно, что отношение критериев одной системы (натуры) к критериям другой подобной ей системы (модели) всегда равно 1. Например,
Если отношение констант подобия равно 1, оно носит название индикатора подобия и указывает на равенство критериев подобия. Следовательно, у подобных явлений индикаторы подобия равны 1. Первая теорема подобия указывает, какие величины следует измерять при проведении опытов, результаты которых требуется обобщить: надо измерять те величины, которые входят в критерии подобия. Вторая теорема подобия (теорема Бэкингем-Федермана): решение любого дифференциального уравнения, связывающего между собой переменные, влияющие на процесс, может быть представлено в виде зависимости между критериями К подобия. Такие уравнения называются уравнениями обобщенных переменных, или критериальными уравнениями, например
f(К1,К2,К3,...) = 0, (5)
где К1,К2, К3 — критерии подобия. Обычно критериальное уравнение записывается в виде зависимости определяемого критерия подобия от определяющих критериев подобия:
К1= f(К2,К3,...), (6) Например, К1=АКm2Кn3 (7)
где А, т, п — эмпирические показатели. Определяемым критерием является тот критерий, в который входит определяемая величина. Критерии, в которые входят величины, определяющие ход процесса (v ,μ,ρ, dэ и т.д.), называются определяющими. Если какой-либо эффект в исследуемом процессе мало влияет на его протекание, то критерии подобия, характеризующие интенсивность данного эффекта, могут не учитываться. В этом случае процесс по отношению к этому эффекту и к критерию подобия становится автомодельным, т.е. независимым. В соответствии с этой теоремой результаты эксперимента, проведенного на модели, можно представлять в виде критериальных уравнений. Третья теорема подобия (теорема Киринчен-Гухмана): явления подобны, если их определяющие критерии равны. Следствием равенства определяющих критериев подобия является равенство и определяемых критериев для натуры и модели, поэтому полученная на модели в результате опытов критериальная зависимость будет справедлива для всех подобных процессов, в том числе и для протекающих в промышленной установке. При этом следует учитывать, что полученные уравнения надежно можно использовать только в тех интервалах изменения переменных, которые были использованы при проведении опытов. Таким образом, для исследования технологических процессов методом подобия необходимо: 1. выбрать дифференциальное уравнение и условия однозначности, описывающие данный процесс; затем путем преобразования найти критерии подобия; 2. опытным путем с помощью моделей установить зависимость между критериями подобия; полученное обобщенное уравнение будет справедливым для всех подобных процессов в пределах изменения определяющих критериев подобия. Преобразование дифференциальных уравнений методом теории подобия проводится в следующем порядке: 1. каждый из членов дифференциального уравнения умножается на соответствующие константы подобия кτ, кv, кl и т.д.; 2. полученные коэффициенты перед членами уравнения для соблюдения тождественности приравниваются; 3. в полученных индикаторах подобия константы подобия заменяются соответствующими отношениями величин, и полученные комплексы являются критериями подобия. В табл. 1 приведены основные критерии гидродинамического подобия, которые будут равны для сходственных точек натуры и модели, если они подобны.
Таблица 1 - Основные критерии гидродинамического подобия
Таким образом, дифференциальное уравнение Навье - Стокса, описывающее движение вязкой жидкости, может быть представлено в виде критериального уравнения: f(Rе, Но, Fr, Еu) = 0 (8)
Уравнение (8) является обобщенным критериальным уравнением гидродинамики. Все критерии уравнения (8), кроме критерия Ей, являются определяющими, так как они составлены из величин, входящих в условия однозначности. Критерий Эйлера, в который входит величина ∆р, являющаяся целью расчета, будет определяемым критерием. Тогда
Еu = f(Rе, Но, Fr) или Еu = AНосRетFrп, (9)
где А,c,т,п- эмпирические показатели. В ряде случаев уравнение (19) дополняют геометрическим симплексом l / d:
Еu = AНосRетFrп(l / d)b, (10)
где b- эмпирический показатель. При установившемся движении критерий Но исключается из критериального уравнения:
Еu = ARетFrп(l / d)b. (11) В случае, если скорость движения жидкости не определена, в расчеты вводят производные или модифицированные критерии подобия, составленные из основных критериев. В этих критериях подобия неизвестная величина υ заменяется другими величинами, которые сравнительно легко определяются экспериментально или аналитически. Возьмем отношение критериев Rе и Fr:
(12)
Полученный безразмерный комплекс величин называется критерием Галилея. Если умножить этот критерий на отношение ( ρ 1 - ρ 2 )/ ρ 2 , то получается новый критерий подобия — критерий Архимеда
(13)
где ρ 1 , ρ 2— плотности жидкости в разных точках, кг/м3.
12
Популярное: Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (820)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |