Критерий среднего значения и стандартного отклонения

Для оценки рассеяния значений критерия (выбранного параметра) относительно его среднего прогнозируемого значения МО целесообразно использовать такую характеристику, как дисперсия (МО квадрата отклонения). Критерий применяется для учета отношения, например, инвестора к риску [26]. Для этого, помимо МО, рассчитывают дисперсию — стандартное отклонение результатов (стоимости капитала) как степень риска в критерии ПР. Чем выше стандартное отклонение, тем больше риск. Полезность альтернативных решений (риска) зависит от МО и стандартного отклонения. Эта зависимость может быть отражена функцией приоритетности риска, которая характеризует отношение лица, принимающего решение, к риску. При боязни риска лицо, принимающее решение, выбирает из двух альтернатив с одинаковыми МО ту, которая имеет наименьшее стандартное отклонение (дисперсию).

Критерий Бернулли. По обоснованию Бернулли возможна замена значений МО и моментов риска целевых функций (например, стоимости капитала) на ожидаемую полезность (выгоду) [26]. Вместо монетарных целевых функций используется полезность, и лицо, принимающее решение, связывает ее с целями, ожидаемой степенью их достижения, учетом отношения к риску. В этом случае исходят из того, что лицо, принимающее решение, может оценить выгоду (полезность) различных альтернатив и выбрать максимум "морального ожидания" (МрО), рассчитывая его по формуле

 

 

где f(КП _i) — регрессивно возрастающая функция полезности; КП _i,- — стоимость капитала при i-м состоянии среды; Р_i. — вероятность наступления i-ro состояния внешней среды.

Предложенная теория полезности позволяет определить функцию полезности ненадежных результатов (моральных ожиданий) в ситуации риска. Для этого находят надежный результат (надежный эквивалент), имеющий сходную выгоду с двумя ненадежными результатами, вероятности наступления которых известны.

Функция полезности выражает следующие отношения лица, принимающего решение, к риску:

• положительное, при котором значение эквивалента выше значения ожидаемого результата;

• отрицательное, при котором значение эквивалента ниже значения ожидаемого результата;

• нейтральное, при котором эквивалент соответствует значению ожидаемого результата.

Эта функция позволяет определить ожидаемое значение полезности альтернатив. В отличие от критерия среднего значения и стандартного отклонения в величине полезности трансформируются все возможные результаты. Альтернатива с максимальным значением МО полезности является оптимальной. Если отношение к риску нейтрально, этот критерий соответствует правилу Бейеса.

Критерий Лапласа. В случае равной вероятности условий среды решение принимают с использованием критерия Лапласа.

Оптимальным является решение, которому соответствует наибольшая сумма

 

 

Так, используя данные табл. 6.5, получаем следующие суммы альтернатив выплат:

 

                                                                                                  .

 

Как видно, наибольшая сумма выплат содержится в первой строке. Следовательно, как оптимальное решение следует принять переход к немедленному массовому выпуску продукции. Оно совпадает с решением, признанным оптимальным по критерию Гурвица и критерию МО. Если три критерия свидетельствуют о необходимости принять одно и то же решение, то это подтверждает его оптимальность.

В случае указания на разные решения приоритет следует отдать тому из них, у которого больше МО. В ситуации риска он является основным.

Критерий Гурвица. Формула расчета критерия показана при применении правила Гурвица в условиях неопределенности. В этой формуле решение принимается по максимуму выражений:

Лучшая выплата × a + худшая выплата × a (1—a),

где a — параметр оптимизма.

При a = 1 критерий Гурвица превращается в максимакс (критерий азартного игрока). При a = 0 он соответствует максимину (критерий пессимиста, или Ваальда).

Рассчитаем критерий Гурвица для условий, указанных в табл. 6.5,при a =0,6:

K₁, = 12 × 0,3 + 1 × 0,7 = 4,3;

 

К₂ = 8 × 0,3 + 2 × 0,4 = 3,2;

 

К₃ = 7× 0,6 + 1 × 0,4 = 4,6;

 

К₄ = 6 × 0,6 + 1 × 0,4 = 4,0.

 

Максимальное значение критерия свидетельствует о необходимости принимать решение о переходе к массовому выпуску продукции немедленно. Это решение соответствует и критерию Лапласа.

Методы учета неопределенности и риска. В практике обоснования решений, принимаемых в условиях неопределенности и риска, используют различные методы и способы. Они достаточно разработаны и требуют от лица, принимающего решение, незначительной математической подготовки. В данном конспекте лекций описаны возможности и особенности лишь наиболее часто используемых на практике методов, для углубленного изучения рекомендуется литература по функциональным решениям [24-27].

В литературе при расчетах обоснования решений в условиях неопределенности предлагается применять следующие методы: корректив, анализа чувствительности, сценарного анализа, Монте-Карло, анализа риска, “дерева решений“ [26-28].

Метод корректив. Сущность его заключается в коррекции исходных данных, например значения МО, изменении скидок или надбавок за риск. Этим гарантируется, что некая функция расчета с большей вероятностью в действительности достигает рассчитанного минимального значения.

Недостатки метода:

• неопределенность ожиданий учитывается суммарно, а не дифференцированно для исходных данных;

• при дифференцированной корректировке из-за невыясненности источника риска необходима корректировка величин, не соответствующих риску;

• субъективность определения корректив, приводящая к "опасному" суммированию корректив, выполненных различными лицами;

• невозможность выявить последствия неопределенности ожидания.

Анализ чувствительности. Метод прост и доступен, позволяет, например, оценить влияние на значение чистого дисконтированного дохода (NPV) в качестве критерия принятия инвестиционного решения входных параметров в формуле NPV или определить, как изменение условий реализации проекта отразится на значении его эффекта. Риск рассматривается как степень чувствительности чистого дисконтированного дохода к изменению условий функционирования (изменение налоговых платежей, средних переменных издержек, ценовые и т.п.) [27].

Метод анализа чувствительности отвечает на следующие вопросы:

1) как изменится значение целевой функции при заданной вариации входной величины (величин);

2) какое значение может принять входная величина (несколько величин) при заданном наихудшем значении целевой функции.

Вопрос 2) определяет критические допустимые значения входных величин, указывающих на их допустимые отклонения от исходных, например допустимые отклонения ожидаемого или наиболее вероятного значения без изменения значений абсолютной и относительной полезности.

Анализ чувствительности проводят в такой последовательности:

• конструирование модели принятия решения и вычисление ее данных;

• определение видов и количества изучаемых входных величин;

• определение исследуемых отрезков времени для анализа.

Примеры создаваемых моделей: модель стоимости капитала для определения выгодности решения, статическая модель сравнительных расчетов затрат. Примеры входных данных: продажная цена изделия, затраты на приобретение, объем выпускаемой продукции, срок эксплуатации и т. п.

Можно входные величины дополнительно разбить на составные. Анализ проводят для одного периода времени или для нескольких периодов. Метод предусматривает большое разнообразие подходов и видов анализа для ответа на вопросы 1) и 2). При ответе на первый следует определить, сколько величин и какие из них будут исследоваться. Подход определяют постановкой вопроса [26]. Метод реализуется в графической или табличной формах. Методика анализа чувствительности изложена во многих работах [26, 27, 29].

Ограничения метода проиллюстрируем на примере. Изучается проект строительства промышленного объекта. Метод показал, что NPV реагирует в наибольшей степени на изменение объема выпуска, средних переменных издержек и цен продажи этого объекта. В данном случае заключение контрактов на продажу фиксированного количества продукции по оговоренной цене с учетом инфляции позволяет гарантировать определенный чистый дисконтированный доход. В то же время ясно, что срыв контрактов ухудшит ситуацию и уменьшит фактическое значение NPV из-за изменений цен, средних переменных издержек.

Обособленный риск проекта строительства объекта зависит от таких факторов:

• чувствительности NPV проекта к изменению основных факторов
риска;

• взаимосвязанного влияния этих факторов на проект.

Данный метод учитывает только первую зависимость. Таким образом, к особенностям метода анализа чувствительности можно отнести:

• разносторонность применения для оценки модели;

• возможность увидеть структуру модели и проанализировать ее данные;

• выбор альтернативы по форме зависимости их выгодности от входных данных;

• выбор альтернативы лицом, принимающим решение, на основании результатов анализа;

• определение значения отдельных входных величин, благодаря чему возможно использование его для управления;

• применение метода как инструмента инвестиционных расчетов в условиях неопределенности;

• возможность применения метода с использованием ЭВМ.

Значения неанализируемых величин считаются постоянными, в то же время все они взаимозависимы. Возможные значения входных величин анализируются без учета вероятности их отклонений.

Сценарный анализ. Это метод неформализованного описания обособленного риска проекта, включающий оценку возможности совместного действия факторов [27].

В данном методе уделяется внимание:

• наихудшему варианту — системному влиянию всех факторов (низкий спрос, высокие средние переменные издержки, низкие продажные цены и т.п.);

• наилучшему варианту успешной деятельности.

Разработка сценария худшего и лучшего вариантов позволяет рассчитать значение NPV по каждому из них и сравнить его с базовым значением NPV. Ограничением метода является изучение лишь нескольких вариантов.

Метод Монте-Карло.Представляет собой имитационное моделирование. Его идея заключается в совмещении анализа чувствительности и вероятности распределения факторов модели. ЭВМ генерирует множество возможных комбинаций факторов с учетом их вероятного распределения. Каждая комбинация принимается как значение NPV, и в совокупности лицо, принимающее решение, получает вероятностное распределение результатов проекта. Данная модель предполагает следующее:

• действующие факторы независимы, но в большинстве случаев показывают статистическую зависимость;

• знание вероятностных распределений факторов.

Анализ риска.В данном методе возможные значения ненадежных входных величин представляются в форме распределения вероятности. При этом учитывается зависимость между входными величинами и целевой функцией.

Выделяют такие этапы анализа:

• формирование модели принятия решения;

• определение распределения вероятности ненадежных входных величин;

• учет стохастической зависимости между ненадежными входными величинами;

• вычисление распределения вероятности для целевой величины;

• интерпретация результатов [26].

Анализ риска позволяет при учете относительно большого количества влияющих факторов определить распределение вероятности значений целевой величины. Метод не содержит правила принятия решения, требует использования ЭВМ и не допускает выводов о влиянии отдельных входных величин на результаты.

Разновидностью рассматриваемого метода является сенситивный анализ риска [26,29]. Данный метод дает возможность при разработке решений провести анализ:

• чувствительности и риска независимо друг от друга;

• чувствительности в рамках анализа риска.

Сенситивный анализ риска представляет собой изучение чувствительности в рамках анализа риска. При этом исследуют:

• ненадежные входные величины и распределение их вероятностей;

• стохастические зависимости между ненадежными входными величинами;

• надежность входных величин.

Этот метод — дополнение к вычислению распределения вероятности целевой величины модели. Имитационная модель позволяет получить информацию относительно входных величин и надежности выводов о полезности. Метод дает возможность установить влияние входных величин на выгодность альтернатив. Он предусматривает проведение нескольких имитационных экспериментов и оценку нескольких критериев, что, естественно, требует использования ЭВМ.

Дерево решений — это графическое изображение процесса решений, в котором отражены альтернативные решения, состояния среды, а также соответствующие вероятности и выигрыши для любых комбинаций альтернатив и состояний среды.

Анализ задач с помощью дерева решений включает пять этапов:

1) формулировка задачи;

2) построение дерева решений;

3) оценка вероятностей состояний среды;

4) установление выигрышей для каждой возможной комбинации альтернатив и состояний среды;

5) решение задачи путем расчета ожидаемой стоимостной оценки для каждой вершины состояния среды.

Например, в модели стоимости капитала для оценки полезности необходимо для каждой альтернативы решения и соответствующих возможных состояний окружающей среды определить затраты на приобретение ресурсов, сроки эксплуатации, объем производства, выручки и т. п. Находят значения вероятности состояний окружающей среды и расчетной процентной ставки. Целевой величиной в этом методе, как правило, выступает значение математического ожидания. Для инвестиционных решений это может быть стоимость капитала. Действительно, оптимально обусловленная состоянием окружающей среды серия решений имеет максимальное значение математического ожидания стоимости капитала [26].

Метод "дерева решений" используется для оценки гибких моделей. При этом для определения оптимальных решений применяют динамическую оптимизацию и оптимизацию с применением целых чисел. При учете большого количества решений "дерево решений" значительно увеличивается в объеме, но даже в этом случае могут быть учтены не все значения надежных величин, а только ожидаемые. Это предполагает нейтральное отношение к риску лица, принимающего решение. Некоторые недостатки этого метода можно устранить сенситивным методом "дерева решений". Вариация входных величин в рамках метода "дерева решений" предусматривает множество вычислений, а следовательно, использование компьютеров.

Предложенная группа методов учета неопределенности и риска требует, с одной стороны, математической подготовки и навыков проведения расчетов, с другой — затрат времени, что затрудняет их непосредственное использование лицом, принимающим решение. Одним из средств устранения этих затруднений является консалтинг. Консалтинг — это профессиональная услуга со стороны специалистов руководителям фирм и персоналу управления в форме советов, рекомендаций и совместного с лицом, принимающим решение, обоснования принимаемых решений.