Определение положений равновесия механической системы и исследование их устойчивости

Важным случаем движения механических систем является их колебательное движение. Колебания – это повторяющиеся движения механической системы относительно некоторого ее положения, происходящие более или менее регулярно во времени. В курсовой работе рассматривается колебательное движение механической системы относительно положения равновесия (относительного или абсолютного).

Механическая система может совершать колебания в течение достаточно длительного промежутка времени только вблизи положения устойчивого равновесия. Поэтому перед тем, как составить уравнения колебательного движения, надо найти положения равновесия и исследовать их устойчивость.

Согласно основному уравнению статики, для того чтобы механическая система находилась в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы в этой системе были равны нулю все обобщенные силы:

 (6.1)

 – обобщённые силы;  – число обобщённых координат в механической системе.

В нашем случае механическая система находится в потенциальном силовом поле; из уравнений (6.1) получаем следующие условия равновесия:

 (6.2)

Следовательно, в положении равновесия потенциальная энергия имеет экстремальное значение. Не всякое равновесие, определяемое вышеприведенными формулами, может быть реализовано практически. В зависимости от поведения системы при отклонении от положения равновесия говорят об устойчивости или неустойчивости данного положения. Достаточные условия устойчивости положений равновесия для консервативных систем определяются теоремой Лагранжа – Дирихле: «Положение равновесия консервативной механической системы устойчиво, если в нём потенциальная энергия системы имеет изолированный минимум».

Определим положения равновесия для заданной механической системы, используя ранее найденные обобщённые силы (5.1.11) и (5.1.12) из системы уравнений:

 (6.4)

Решение системы средствами MathCAD приведено в приложении Б к курсовой работе.

Для нашей механической системы имеем:

Первое положение равновесия: , .

Второе положение равновесия: , .

Используя теорему Лагранжа – Дирихле определяем, что первое положение равновесия является не устойчивым, а второе – устойчивым.

Рисунок 6.1. Положения равновесия механической системы

Найдем вторые производные от потенциальной энергии по обобщенным координатам:

(6.5)

Для исследования устойчивости положения равновесия необходимо исследовать на знакоопределенность матрицу жесткости, составленную из значений выражения (6.5) в этом положении равновесия.

Положение равновесия не устойчивое

Положение равновесия устойчивое

Заключение

В данной курсовой работе была исследована механическая система с двумя степенями свободы. В результате были достигнуты изначально поставленные цели, а именно:

Ø получен закон относительного движения материальной точки;

Ø составлено уравнение движения твердого тела с помощью теоремы об изменении кинетического момента, определено значение внешнего момента, обеспечивающего равномерное вращение конструкции;

Ø найдены реакции в опорах вращающегося тела;

Ø проведено исследование движения механической системы с помощью уравнений Лагранжа II рода, в результате которого получены уравнение относительного движения материальной точки и закон изменения внешнего момента, обеспечивающего постоянство угловой скорости;

Ø определены положения равновесия механической системы и исследована их устойчивость;

В приложениях к курсовой работе приведены результаты численного интегрирования, а так же графики зависимостей определяемых величин.