Взаимосвязь обобщения и анализа

Рассмотрим пример зависимости обобщения и анализа. Результаты действий (как практических, так и мыслительных) над какими-либо объектами обычно определяются взаимным соотношением этих объектов и их свойств. Действия как бы служат средством для проведения анализа, с помощью которого эти соотношения устанавливаются.

На одном из экспериментальных занятий учащимся была предложена следующая задача: «Доказать, что треугольники ABO и DCO, заключенные между диагоналями трапеции, равновелики» (рис. 3). Наряду с этой основной задачей учащимся была предложена и другая, вспомогательная задача, менее трудная для решения и вместе с тем такая, что ее решение и решение основной задачи было основано на одном и том же принципе. В этой вспомогательной задаче требовалось доказать конгруэнтность диагоналей прямоугольника ABCD (рис. 4).

              рис. 3                                                    рис. 4

Убедиться в конгруэнтности диагоналей прямоугольника учащимся легко, так как по существу эта задача представляет собой известную учащимся теорему, восстановить ход доказательства которой нетрудно. После этого и основная задача была быстро решена учащимися, которые сумели осуществить мысленный «перенос» хода решения вспомогательной задачи на решение основной. Общим ключом к решению этой и другой задачи оказалось использование в ходе доказательства общего основания AD треугольников ABD и ACD, которое в первом случае выступало как общее основание равновеликих, а во втором – конгруэнтных треугольников ABD и ACD. Для отыскания решения основной задачи достаточно было установить равновеликость фигур ABD и ACD (связанных с треугольниками ABO и OCD). Достаточно было выделить это звено решения двух данных задач в качестве существенно общего свойства, т. е. совершить обобщение.

Таким образом, возможность обобщения и использования его результата – переноса – в процессе решения этих задач зависели прежде всего от мысленного включения обеих задач в единый процесс аналитико-синтетической деятельности. Успешное проведение обобщения (и переноса) было обусловлено тем, что на отдельных этапах анализа учащимися совершалось соотнесение условий основной задачи и задачи-подсказки. Результат процесса (перенос, использование задачи-подсказки) зависел, таким образом, от работы, проведенной учащимися в процессе анализа условия основной задачи. Это оказалось возможным потому, что объект изучения (основная задача) был включен в систему связей и отношений с другим известным объектом (вспомогательная задача).

Аналогичную ситуацию мы можем неоднократно наблюдать в процессе обучения математике в школе. Вернувшись к примеру с прогрессиями, нетрудно обнаружить ту же схему умственной деятельности школьника при правильно поставленной методике изучения этого вопроса. В самом деле, анализируя каждую из данных последовательностей отдельно (а затем совместно), школьник выявляет существенные свойства, общие для некоторых их этих последовательностей, свойства, позволяющие выделить их в особый класс – арифметических прогрессий и провести естественно вытекающее отсюда обобщение – сформулировать определение прогрессии.

Таким образом, обобщение с анализом являются мощным средством для выявления существенных для решения данной задачи (вопроса) свойств.

ОБОБЩЕНИЕ КАК ПРИМЕР ВАРЬИРОВАНИЯ ПРИ ПОИСКЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

В современных условиях модернизации образования осуществляется обновление содержания и совершенствование механизмов обучения и контроля за качеством, что предполагает: принятие государственных стандартов общего образования; его разгрузку, ориентацию на потребности личности и современную жизнь страны; экспериментальную обработку нового содержания общего образования и т.д.

Говоря о творчестве в любой области деятельности человека, мы всегда обращаемся к понятию гибкости мышления, от активности формирования которого зависит темп обучения.

К числу способностей человека, дающих ему возможность успешно осуществлять творческую деятельность, Ю.М.Колягин относит:

- способность к быстрому сосредоточению и переключению внимания с сохранением его устойчивости и интенсивности на любых избранных объектах (в частности, на объекте изучения или исследования);

- способность оценивать ситуацию сразу с различных точек зрения, способность видеть больше того, что есть и что очевидно;

- способность из многообразия свойств изучаемого объекта выделить наиболее важные и существенные и в том случае, когда эти свойства существуют в скрытом виде;

- способность к открытию различных связей между объектами идеями, умение использовать логические связи для проверки достоверности сделанного вывода.

Вышеназванные способности у человека не появляются автоматически сами по себе. Одним из путей их формирования является обеспечение динамики внимания, которая осуществляется вариативностью упражнений. Это позволяет преподавателю управлять процессом внимания и ведет к формированию гибкости мышления обучаемых.

Из всех видов варьирования на занятиях по методическим дисциплинам наиболее видное место занимает варьирование содержания обучения математике, связанное с решением вопросов уровневой и профильной дифференциации обучения, что объясняется наибольшей разработанностью данного вопроса исследователями.

Нас будет интересовать варьирование условий задачи как один из способов её решения. Пути поиска решения задачи отражает Д.Пойа в своих работах, не называя термина «варьирование». Но именно этот термин обобщает его рекомендации в области поисков решения задачи.

В самом деле, поиски решения задачи начинаются с анализа условий (Что дано? Что неизвестно? В чём состоит условие?). Казалось бы, это – пустая формальность, и чтобы уяснить суть условия, достаточно внимательно прочитать задачу, может быть, не один раз. Между тем, это не так. Действительно, могут встречаться такие ситуации, когда условие задачи представлено в неявной форме, и тогда её данные могут быть записаны не полностью. Итог – «задача не решается».

Например, в геометрической задаче среди числовых данных встречается условие, когда выполняется движение фигуры. Это означает, что каждый отрезок данной фигуры перешёл в равный ему отрезок. Если представленную здесь часть условия «не заменить», то кажется, что не хватает данных для решения.

В подобных случаях рекомендуется исключить в формулировке задачи условие о движении, ученикам задать вопросы: что изменилось в задаче? Для чего было дано автором это условие?

Иногда задачу требуется иллюстрировать чертежом (особенно, если она геометрическая). При решении текстовых алгебраических задач необходимо осуществить своеобразный перевод на чисто математический язык уравнений (иногда неравенств).

Всё названное – представление условия задачи и его запись в разных вариантах. Примеры варьирования условий задачи можно продолжить.

Иногда условие задачи или теоремы таково, что её можно разбить на несколько задач. Например:

«Доказать, что если при пересечении двух прямых третей либо равны внутренние накрест лежащие углы, либо равны соответственные углы, либо сумма внутренних односторонних углов равна 180, то прямые параллельны» (известная теорема).

Эта задача фактически состоит из трёх задач, условие каждой из которых начинается после очередного слова «либо»; а заключение – одно. Конечно, такую задачу целесообразно разбить на три разные, а затем показать, как может быть осуществлено обобщение результатов задачи.

Полезно тут же сформулировать задачу, обратную данной. Это тоже будут три разные задачи, условия которых одинаковы (две параллельные прямые пересечены третьей). А заключения различные.

Так путём варьирования формулировки задачи можно показать учащимся, как возможности обобщения задач, так и возможности разбития их на несколько.

Иногда частные случаи позволяют выявить следствия из задачи или теоремы. Например, следствие теоремы. «В равнобедренном треугольнике углы при основании равны» является предложение: «В равностороннем треугольнике все углы равны».

Наконец, условия задачи проанализированы, заключение ясно, всё чётко переформулировано так, как удобно ученику в данный момент, и можно переходить к поиску решения задачи.

Что рекомендует Д.Пойа? Первое: «Известна ли вам какая-нибудь родственная задача?» Если известна, то решение предлагаемой задачи становиться «решением по образцу», и его поиск совершенно не нужен.

Вторая рекомендация Д.Пойа: «Встречалась ли вам какая-нибудь задача с тем же неизвестным?» Этот вопрос далеко не всегда приведёт к правильному ответу на него.

Допустим, что нам требуется найти высоту в треугольнике. Какой метод использовать? Вспомнить о признаках равенства треугольников? О признаках подобия? О вычислении площадей треугольников? Или использовать факт о диаметре, перпендикулярном к хорде, выполнив какие-нибудь дополнительные построения?

Чтобы прояснить наши дальнейшие действия, нужно связать условие с заключением. Как? В текстовых задачах требуется обычно составить уравнение, а может быть, неравенство или систему неравенств для того, чтобы обеспечить такую связь. В геометрии полезно начать с обращения к определениям понятий, содержащихся в условии и заключении задачи. Вопрос: «не можем ли мы указать родственную задачу?» заставляет нас обратиться к аналогам, но иногда это приводит к ошибочному пути, так как сравнение в каждом из различных случаев производиться по различным основаниям, что учащимся не всегда видно.

Например, ученику кажутся аналогичными по способу решения следующие задачи.

1. Дан угол и внутри него две точки. Построить четырёхугольник минимального периметра, у которого две смежные вершины лежат в данных точках, а две другие – на сторонах данного угла.

2. Дана прямая х и две точки А и В по разные стороны от неё. Поместить на прямой х отрезок МN = а, так, чтобы длина ломаной АМNВ была наименьшей.

Основания для такого утверждения дают следующие общие факты из содержания задачи:

 - требуется построить ломаную наименьшей длины;

 - даны прямые и точки, взаимное расположение которых известно;

 - заметно некоторое внешнее сходство чертежей.

Между тем, первая задача решается методом симметрии, вторая – методом параллельного переноса.

Прекрасным примером варьирования является обобщение. При различных способах обобщения изменяется эффективность выбранной преподавателем методики обучения. Все знания, умения и навыки, формируемые у учащихся в обучении математике можно разделить на следующие:

- частные (они распространяются на один математический объект или бесконечно много таких объектов, например, знание таблицы Пифагора);

- обобщенные.

Очевидно, что между частными и обобщенными знаниями, умениями и навыками нет конкретной границы, они часто проявляются в единстве. Обобщить – это значит зафиксировать общее, что имеется в конкретной теме урока, т.е. в каждом объекте рассматриваемой совокупности. Обобщение в обучении математике – это мысленное выделение общих и существенных признаков математических объектов (или способов действий с ними) и объединение их на этой основе в пределах заданной области (темы, раздела, всего учебного предмета).

Вариативность обучения математике на наш взгляд не осуществима без обобщения.

В свою очередь, понимание и овладение учащимися в полной мере основными обобщениями в математике может произойти только посредством методов вариативного обучения.

Большое внимание обобщению уделяет Г.И.Саранцев, предлагая вниманию учащихся различные приёмы использования обобщения и конкретизации на примерах решения задач.