Статический расчет поперечной рамы

 

Статический расчет поперечной рамы имеет цель определить внутренние усилия в характерных сечениях колонн от нагрузок и воздействий.

Для выявления наибольших возможных усилий в сечениях колонн расчет выполняют отдельно для каждого вида загружения. Рассмотрены следующие виды загружений:

- постоянная; снеговая; вертикальная крановая нагрузка D_max на колонне по оси A, D_min -на колонне по оси Б; вертикальная крановая нагрузка D_max на колонне по оси Б, D_min - на колонне по оси А; горизонтальная крановая нагрузка T, приложенная к колонне по оси А слева направо и справа налево; горизонтальная крановая нагрузка T, приложенная к колонне по оси Б слева направо и справа налево; ветровая нагрузка, действующая слева направо; ветровая нагрузка, действующая справа налево.

Ввиду симметрии поперечной рамы достаточно определить усилия только для одной колонны от всех возможных видов загружения. Для подбора сечений колонн определяют наибольшие возможные усилия (изгибающие моменты и продольные силы) в четырех сечениях колонн: I-I сечение у верха колонны; II-II - сечение непосредственно выше подкрановой консоли, III-III -сечение непосредственно ниже подкрановой консоли, IV-IV - сечение у низа колонны (в заделке). Для последнего сечения определяют поперечную силу, необходимую для расчета фундаментов.

Так как со стропильной конструкцией, колонна соединена шарнирно, все усилия в сечении I-I, за исключением усилий от постоянной и снеговой нагрузок, равны нулю. Поэтому в данном случае верхнее сечение не будет расчетным и усилия в нем не определяют.

При определении усилий принимают следующее правило знаков:

-реакции, направленные слева направо - положительные;

-изгибающие моменты, действующие по ходу часовой стрелки - положительные;

-продольные усилия, действующие сверху вниз положительные.

Геометрические характеристики колонн.

Размеры сечения двухветвевых колонн приведены выше. Остальные характеристики: количество панелей подкрановой части n=4, расчетная высота колонны Н=12,75 м, высота подкрановой части Н_н=8,35 м, надкрановой части Н_в=4,4 м, расстояние между осями ветвей с=0,95м.

Момент инерции надкрановой части колонн:

 

 

Момент инерции подкрановой части:

 

 

то же одной ветви:

 

 

Отношение высоты подкрановой части к полной высоте колонн

 

 

По формулам вычисляют вспомогательные коэффициенты:

а) Определение усилий в колоннах рамы.

Статический расчет поперечной рамы на различные нагрузки и воздействия удобно производить методом перемещений.

Неизвестным для рассматриваемой рамы является горизонтальное перемещение верха колонны. Вводя по направлению неизвестного перемещения стерженек-связь (фиктивную связь), получают основную систему.

Каноническое уравнение метода перемещений имеет вид:

 

 

где c_din- коэффициент учитывающий пространственную работу каркаса здания при крановых нагрузках; - сумма реакций несмещаемого верха колонн от внешнего воздействия;

-сумма реакций в фиктивной связи основной системы от единичного перемещения; - искомое горизонтальное перемещение верха колонны.

Основную систему подвергают единичному воздействию неизвестного
 и вычисляют реакции верхнего конца двухветвевых колонн по формулам:

 

 

Суммарная реакция в фиктивной связи основной системы:

 

 

Затем основную систему постепенно загружают постоянными и временными нагрузками, которые вызывают в колоннах соответствующие реакции и изгибающие моменты. Значения реакций несмещаемого верха колонн от внешнего воздействия также определяются по формулам, приведенным в прил. 12.

Действительную (упругую) реакцию верха каждой колонны рамы от: любой нагрузки находят по формуле:

 

 

Далее прикладывают к i-той колонне соответствующую нагрузку и реакцию R_{ei ,} вызванную этой нагрузкой, и находят внутренние усилия М, N и Q в сечениях колонн как в консоли, защемленной в фундаменте.

Усилия в колоннах поперечной рамы от постоянной нагрузки (рис.4,б).

В верхней части колонны продольная сила N_п=653 кН приложена с эксцентриситетом e₁=0,15м. Изгибающий момент M₁=N_пe₁=  

в подкрановой части колонны, кроме силы N_п, приложенной с эксцентриситетом
е₂=0,3 м действуют: расчетная нагрузка от веса подкрановой

балки и подкранового пути N_п.б.=120 кН с е₄=0,4 м; расчетная нагрузка от
надкрановой части колонны N_к^в=34,5 кН с эксцентриситетом е₂=0,3 м;
расчетная нагрузка от стеновых панелей N_ст=191 кН с эксцентриситетом
е₃=0,75м.

Вычисляют реакцию верхнего конца колонны по оси А (левой) по формуле

Рис. 4. К определению реакций в колоннах от нагрузок.

 

Согласно принятому в расчете правилу знаков реакция, направленная вправо, положительна. Реакция правой колонны R₂=5,2кН. Суммарная реакция связей в основной системе

R_ip=ΣRi=-5,2+5,2=0 (при этом из канонического уравнения следует, что  Δ₁=0).

Упругая реакция колонны по оси A:

 

 

Изгибающие моменты в сечениях колонны (нумерация сечений показана на рис.4,а) равны:

 

M_I=M₁=97,95 кНм; M_II=R_e1*H_в+M₁=-5,2*4,4+97,95=75,15 кНм

М_III=М₁+М₂=97,95-301,5=-203,55 кНм;

M_IV=M₁+M₂+R_e1*H=97,95-301,5+(-5,2*12,75)=-269,85 кНм

 

Продольные силы в левой колонне:

 

N₁=N_II=: N_п+N_к^в=653+34,5=687,5 кН;

N_III=N_II+N_ст+N_п.б.= 687,5+191+120=998,5кН;

N_IV=N_III+N_к=998,5+83=1081,5кН.

 

Поперечные силы: Q_IV=R_e1=-5,2кН.

б) Усилия в колоннах поперечной рамы от снеговой нагрузки (рис.4,б).

Расчетная снеговая нагрузка N_s=47.9 кН действует с таким же эксцентриситетом e₁=0,l5 м, что и постоянная нагрузка. Изгибающий момент в верхней части:

 

M₁=N_sе₁=47,9*0,15=7,2кН

 

В подкрановой части снеговая нагрузка с учетом смещения геометрических осей сечений подкрановой и надкрановой частей колонны с е₂=0,3 м создает изгибающий момент:

 

М₂=N_sе₃=47,9*0,3= -14,4

 

Реакция верхнего конца колонны по оси A:

 

 

Для колонны по оси Б R₂=-0,05 кН. Тогда суммарная реакция связей в

основной системе

Упругая реакция колонны по оси A R_e1=R₁=0,05 кН.

Изгибающие моменты в сечениях колонны:

 

M_I=M₁=7,2 кНм;

M_II= R_e1*H_в+M₁=0,05*4,4+7,2=7,42 кНм

М_III=М_II+М₂=7,2-14,4=-7,2;

M_IV= M₁+M₂+R_e1*H=7,2-14,4+0,05*12,75=-6,56 кН

Продольные силы в левой колонне:

 

N_I=N_II=N_III=N_IV=47,9 кН.

 

Поперечная сила

 

Q_IV=R_e1=0,05 кН.

 

в) Усилия в колоннах поперечной рамы от крановых нагрузок (рис. 4, в - е).

Рассматриваются следующие виды загружения;

- вертикальная крановая нагрузка D_max на колонне по оси A, _Dmin - на колонне по оси Б (рис. 4, в). На левой колонне сила Dmax=842,52 кН приложена с эксцентриситетом е₄=0,4 м (аналогично эксцентриситету приложения нагрузки от веса подкрановой балки). Момент Mmax=Dmax e₄=842,52_*0,4=337 кНм

Реакция верхнего конца левой колонны:

 

 

Одновременно на правой колонне действует сила Dmin=248,24 кН с тем же эксцентриситетом е₄=0,4м. При этом

 

М_min=D_min*e₄=248,24*0,4=99,3 кНм

 

Реакция верхнего конца правой колонн:

 

Суммарная реакция в основной системе:

 

R_ip=ΣRi=-18,58-5,75=-24,33кН

 

С учетом пространственной работы из канонического уравнения  

 

 

где  при шаге рам 12 м и длине температурного блока 84 м.

Упругая реакция левой колонны

Изгибающие моменты в расчетных левой колонны:

 

М_I=0; М_II=R_e1H_в=-15,1*4,4=-66,44  кНм

М_III=M_II+M_max= -66,44+337=270,56 кНм;

M_IV=R_e1H+M_max=-15,1*12,75+337=144,5 кНм

 

Продольные силы:

 

N_I=N_II=0; N_III=N_IV=842,52 кН.

 

Поперечные силы:

 

Q_IV= -R_e1= -15,1 кН.

 

Упругая реакция правой колонны

Изгибающие моменты:

 

M_I=0; M_II=R_e2H_в= -3,74*4,4=-16,4 кНм;

M_III=M_II + M_min=-16,4+99,3= 82,86 кНм;

M_IV=R_e2H+M_min=-3,74*12,75+99,3=51,6 кНм. 

 

Продольные силы:

 

N_I=N_II=0; N_III=N_IV=D_min=248,24 кН.

 

Поперечные силы:

 

Q_IV=R_e2=-3,74 кН;

 

б) вертикальная крановая нагрузка D_max на колонне по оси Б, D_min на колонне по оси А (рис. 4, г). При действии нагрузки D_min на колонну по оси А, а нагрузки D_max на колонну по оси Б усилия в колонне по оси А равна усилиям в колонне Б в предыдущем загружении, но с обратным знаком.

в) горизонтальная крановая нагрузка Т на колонне по оси А слева направо и справа налево (рис. 4, д).

Реакция левой колонны от Т_tr=31,3 кН

 

 

то же правой колонны R₂=20,8.

 

Упругая реакция левой колонны:

 

 

Изгибающие моменты в сечениях колонны по оси А:

 

M_I=0; M_II=М_III= R_e1 H_в+Тh_п.б=-17,8*4,4+31,6*1,4=-34,1 кНм;

M_IV=R_e1H+T(H_в+h_п.б)=-17,8*12,75+31,6(8,35+1,4)=81,15 кНм.

 

Продольные силы:

 

N_I=N_II=0; N_III=N_IV=0.

 

Поперечные силы:

 

Q_IV=R_e1+Т= -17,8+31,6=13,8 кН;

 

При действии сил Т справа налево все усилия меняют знаки;

г) горизонтальная крановая нагрузка Т на колонне по оси Б слева направо и права налево (рис. 4, е). Тормозная сила Т действует на колонну по оси Б слева направо. Усилие в колонне по оси А равны усилиям в колонне по оси Б в предыдущем загружении и наоборот

При действии тормозных сил справа налево все усилия меняют знаки.

г) Усилия в колоннах поперечной рамы от ветровой нагрузки (рис. 4, ж,з).

Ветровая нагрузка действует слева направо. Реакция верхнего конца левой колонны от нагрузки w_э=2:

 

 

Реакция верхнего конца правой колонны от нагрузки w_э^/=1,5:

 

 

Реакция связей от сосредоточенных сил W=3,3 кН и W^/=2,5 кН

 

 

Сумма реакция в основной системе:

 

R_ip=ΣRi=-13,73-10,3-3,3-2,5=-29,83

 

Из канонического уравнения  находят

 

 

(  определяется без учета пространственной работы каркаса).

Упругая реакция левой колонны:

 

 

Изгибающие моменты в сечениях левой колонны:

 

М_I=0;

M_II=М_III= R_e1H_в+w_эH_в²/2=1,19*4,4+2*4,4²/2=24,6 кНм;

M_IV=R_e1H+w_эH²/2=1,19*12,75+2*12,75²/2=177,73 кНм

 

Поперечные силы:

 

Q_IV=R_e1+w_эH=24 кН.

 

Упругая реакция правой колонны:

 

 

Изгибающие момент в сечениях правой колонны:

 

М_I=0;

M_II=М_III= R_e2H_в+w^/_эH_в²/2=4,62*4,4+1,5*4,4²/2=34,85 кНм

M_IV=R_e2H+w^/_эH²/2=4,62*12,75+1,5*12,75²/2=180,8 кНм

 

Продольные силы:

 

N_I=N_II=0; N_III=N_IV=0.

 

Поперечные силы:

 

Q_IV=R_e2+w^/_эH=4,62+1,5*12,75=20 кН.

 

Ветровая нагрузка действует справа налево. При этом усилия в колонне по оси А равны усилиям с обратными знаками в колонне по оси Б в предыдущем загружении и наоборот.

д) Расчетные сочетания усилий.

Значения расчетных усилий в сечениях колонны по оси А от разных нагрузок и их сочетаний, а также усилий, передаваемых колонной фундаменту, приведены ниже в табл. 2.

Рассмотрены следующие комбинации усилий: наибольший положительный момент М_mах и соответствующая ему продольная сила N, наибольший, отрицательный момент М_min и соответствующая ему продольная сила N , наибольшая N_max продольная сила и соответствующий ей изгибающий момент М. Кроме того для каждой комбинации усилий в сечении IV-IV вычислены значения поперечных сил Q, необходимых для расчета фундамента.

Учитывая, что колонны находятся в условиях внецентренного сжатия, в комбинацию усилий N_max включены и те нагрузки, которые увеличивают эксцентриситет продольной силы. Так, для сечения III-III, кроме загружении 1, 3, 5 включены 9 и 13, при которых продольные силы отсутствуют, но возникают изгибающие моменты того же знака.

Расчетные усилия в колонне по оси А и их сочетания (изгибающие моменты – в кНм, силы – в кН)  

 

Табл. №2

Вид нагрузки	№ загружения	Коэффициент	Усилия в сечениях колонны
			II-II			III-III			IV-IV
			МII	NII		MIII	NIII		MIV	NIV	QIV
Постоянная	1	1	75,15	687,5		-203,5	998,5		-269,8	1081,5	-5,2
Снеговая	2	1	7,42	47,9		-7,2	47,9		-6,56	47,9	0,05
	3	0,9	6,68	43,11		-6,48	43,11		-5,9	43,11	0,04
Крановая Dmax слева	4	1	-66,44	0		270,6	842,5		144,5	842,5	-15,1
	5	0,9	-59,8	0		243,5	758,3		130	758,3	-13,6
Крановая Dmax справа	6	1	-16,4	0		82,86	248,2		51,6	248,2	-3,74
	7	0,9	-14,8	0		74,58	223,4		46,45	223,4	-3,37
Горизонтальная крановая Т	8	1	±34,1	0		±34,1	0		±81,15	0	±13,8
	9	0,9	±30,7	0		±30,7	0		±73	0	±12,42
Ветровая слева	12	1	24,6	0		24,6	0		177,7	0	26,7
	13	0,9	22,14	0		22,14	0		160	0	24
Ветровая справа	14	1	-34,85	0		-34,85	0		-180,8	0	-20
	15	0,9	-31,37	0		-31,37	0		-162,7	0	-18
Основные сочетания с учетом крановых и ветровой нагрузки	Мmax		1+2+8+10			1+4+8+10			1+4+8+10
			141,27		735,4	125,75		1841	133,5	1924	-7,35
	Мmin		1+4+12			1+2+8+12			1+2+8+12
			-26,14		687,5	279,7		1046,4	-538,4	1129,4	-54,05
	Nmax		1+2+6+8+10			1+3+5+9+13			1+3+5+9+13
			124,87		735,4	196,84		1294,6	486,8	1377,6	-42,69
То же, без учета крановых и ветровой нагрузки			1+2			1+2			1+2
			82,57		735,4	-210,7		1046,4	-276,4	1129,4	-5,15