Методика реализации стохастической линии в 5 классе.

Основными задачами на этом этапе являются:

· Выработка умений и навыков работать с таблицей, извлекать из таблиц информацию и анализировать ее.

· Выработка умений заполнять в таблице пустые графы (строки, столбцы).

· Формирование умений читать диаграммы, извлекать необходимую информацию.

· Формирование умений и навыков в составлении, выборе и упорядочении комбинаторных наборов.

· Формирование умений подсчета комбинаторных объектов, методом непосредственного перебора.

·  Показать, что такое дерево возможных вариантов, его использование как один из методов решения КЗ.

· Формирование представления о том, какое событие является достоверным, какое невозможным, и какое событие мы можем назвать случайным.

· Формирование у учащихся понимания степени случайности в различных событиях и явлениях и использование для ее оценки адекватных вероятностных терминов («достоверно», «маловероятно» и т.д.).

Формирование комбинаторных навыков, как уже говорилось в 1 главе, нужно начинать как можно раньше. Желательно вести пропедевтическую работу уже в начальных классах.

А в 5 классе предлагаются простейшие комбинаторные задачи, решая которые должна вестись либо работа по перебору возможных вариантов, либо по упорядочиванию, либо их объединение - перебор и упорядочивание вместе. В нашей жизни часто возникают такие задачи, которые имеют несколько различных решений, и перед нами встает проблема рассмотреть все возможные варианты решения. Для этого нам нужно найти удобный способ перебора, при котором будут рассмотрены всевозможные варианты, и они не повторялись бы.

На первом месте перед учителем стоит задача по формированию навыков систематического перебора. Начинать нужно с простых задач, где не так много элементов, важна сама суть перебора всех вариантов.

Три друга, Антон, Борис и Виктор, приобрели два билета на футбольный матч. Сколько существует различных вариантов похода на футбол?

Здесь необходимо перебрать всевозможные пары мальчиков.

После этого можно добавить условие, при котором, решая задачу, учитываем еще и место, на котором будет сидеть тот или иной мальчик, то есть учитывается порядок элементов в наборе.

Три друга, Антон, Борис и Виктор, приобрели два билета на футбольный матч на 1-е и 2-е места первого ряда стадиона. Сколько существует способов занять эти два места на стадионе? Записать все эти варианты.

Здесь мы можем использовать результаты предыдущей задачи. В ней мы не учитывали порядок, а теперь необходимо учитывать порядок, на каком месте будет сидеть тот или иной мальчик. Рассмотрим тот вариант, когда на матч пошли Антон и Борис, в этом случае возможно два варианта занять места на матче: 1-ое место – Антон, 2-ое место - Борис и наоборот 1-ое место Борис, а 2-ое Антон. То есть упорядочить два элемента мы можем двумя способами. Таким образом, решение предыдущей задачи дало нам два решения для этой задачи. Аналогично на каждый вариант предыдущей задачи мы получаем еще один вариант решения, итого 6 вариантов.

Антону, Борису и Виктору повезло, они купили 3 билета на футбол на 1-е, 2-е и 3-е места первого ряда стадиона. Сколькими способами могут занять мальчики эти места?

В данной задаче, как и в предыдущей важно на каких местах сидят мальчики, то есть нам нужно рассмотреть, сколько существует вариантов рассадить трех мальчиков на три разных места. Пусть на первом месте сидит Антон, тогда на оставшиеся два места двух оставшихся мальчиков мы можем усадить двумя способами, аналогично для случаев, когда на первом месте сидит Борис и Виктор. В результате получим 6 вариантов, то есть упорядочить 3 элемента мы можем шестью способами.  

В предыдущих задачах, не учитывая порядка перебора не сложно перечислить все возможные варианты, так как их не так много, но часто при переборе возможных вариантов их может быть столько, что сложно оценить все ли возможные решения мы учли и не пропустили ли хотя бы одно из них. В этом случае необходимо упорядочить процедуру перебора, то есть перебирать возможные варианты в некотором порядке, определенном заранее, который позволяет не допускать повторений решений и пропускать возможные решения.

Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 1,2,3.

Выпишем возможные двузначные числа. Но мы не будем выписывать эти числа как попало, а договоримся выписывать их в порядке возрастания, что позволит нам не пропускать числа и не повторяться. В процессе решения этой задачи может возникнуть такой вопрос, а может ли одна и та же цифра повторяться в числе два раза? (если не возникнет, то учитель может сам обратить на это внимание). Так как в данной задаче это условие не оговорено, то решим ее для обоих случаев, и увидим, что в каждом из них число решений различно. Из чего делаем вывод, что данное условие при решении задач необходимо учитывать.

В алфавите племени УАУА имеются только две буквы – «а» и «у». Сколько различных слов по три буквы в каждом можно составить, используя алфавит этого племени?

В этой задаче одна и та же буква может встречаться в слове как один, так два или три раза. И нужно рассмотреть все варианты.

Заметим, что очень удобно процесс перебора осуществлять путем построения специальной схемы, которая называется дерево возможных вариантов. Рассмотрим построение дерева возможных вариантов для данной задачи: сначала нужно выбрать первую букву – это могут быть буквы «а» или «у», поэтому в «дереве» из корня проведем две веточки с буквами «а» и «у» на концах. Вторая буква может быть опять как «а» так и «у», поэтому из каждой веточки выходит еще по две веточки и т.д.

                             

 

 

Теперь, проходя по веточкам дерева, по порядку выписываем нужные нам сочетания букв - «слова»:

ааа; аау; ауа; ауу; уаа; уау; ууа; ууу. 

Дерево помогает увидеть путь решения, учесть все варианты и избежать повторений. Нужно обратить внимание, что дерево возможных вариантов позволяет нам подсчитывать упорядоченные наборы

В 5«А» классе в среду 4 урока: математика, информатика, русский язык, английский язык. Сколько можно составить вариантов расписания на среду?

В данной задаче у нас имеется 4 предмета и необходимо выписать возможные варианты расписания на один день, учитывая те условия, что каждый урок должен обязательно присутствовать в расписании, и встречаться там всего один раз (для упрощения записи предлагается каждый предмет обозначит его заглавной буквой). Таким образом, нам необходимо подсчитать сколькими способами мы можем упорядочить 4 элемента. Пусть первым будет урок математики, тогда оставшиеся 3 предмета мы можем упорядочить 6-ью способами (из ранее рассмотренных задач). Аналогично для оставшихся трех предметов. Итого получим 24 способа упорядочить 4 предмета.

В 5 классе начинается работа по формированию вероятностных представлений у учащихся. Сначала рассмотрим понятие случайное событие.

Часто в жизни мы употребляем такие слова, как «возможно», «это невероятно», «это маловероятно» и т.д. Подобные выражения мы используем, когда говорим о событии, которое в одних условиях может произойти, а может и не произойти. Такие события называют случайными.

События, которые при данных условиях обязательно происходит, называют достоверным. События, которые при данных условиях не могут произойти, называют невозможными.

Для отработки данных понятий можно рассмотреть упражнения, в которых нужно определить является событие достоверным, невозможным или случайным.

Оцените, какие из перечисленных событий являются достоверными, какие невозможными, а какие случайными и почему вы так считаете:

А) при бросании кубика вы получите шестерку;

Б) при бросании кубика вы получите число больше 6;

В) при бросании кубика вы получите четное число;

Г) при бросании кубика вы получите число, которое делится на 7

Д) при бросании кубика вы получите число больше 1;

Е) при бросании кубика вы получите нечетное число;

Ж) кубик, упав, останется на ребре.

В мешке лежит 10 шаров: 3 синих, 3 белых и 4 красных. Какие из следующих событий являются случайными, достоверными и невозможными и почему вы так считаете:

А) из мешка вынули 4 шара и все они синие;

Б) из мешка вынули 4 шара и все они красные;

В) из мешка вынули 4 шара, и все они оказались разного цвета;

Г) из мешка вынули 4 шара, и среди них не оказалось шара черного цвета;

Ученик задумал натуральное число. Какие из следующих событий будут достоверными, невозможными и случайными и почему вы так считаете.

А) Задумано четное число;

Б) Задумано число, не являющееся ни четным, ни нечетным;

В) Задумано нечетное число;

Г) задумано число, являющееся четным или не четным.

События А и В являются случайными, так как может быть загадано как четное, так и нечетное число. Возникает вопрос, какое из событий более вероятно: задумано четное число или задумано нечетное число. Так как чисел четных и нечетных одинаковое количество, то оба эти события имеют равные шансы. Такие события называются равновероятными.

Также о некоторых случайных событиях мы можем сказать, что оно «маловероятно» или «очень вероятно».

Укажите, какие из следующих событий – невозможные, достоверные, случайные, а о каких мы можем сказать, что оно «маловероятно» или «очень вероятно»:

1) футбольный матч «Спартак» - «Динамо» закончится вничью.

2)   вы выиграете, участвуя в беспроигрышной лотерее.

3) в полночь выпадет снег, а через 24 часа будет светить солнце.

4) завтра будет контрольная по математике.

5) Вы получите «5» за контрольную работу по математике

6) 30 февраля будет дождь.

7) вас изберут президентом США.

8) вас изберут президентом России.

9) круглая отличница получит двойку

10)на день рождения вам подарят живого крокодила

Если в предыдущих задачах ответы на вопросы однозначны, то здесь ответ зависит от ситуации, от того, когда и кому задан вопрос. Например, о достоверности события 4 мы можем говорить, в зависимости от дня, когда задан вопрос, если на следующий день действительно будет контрольная по математике, то это событие достоверно. При ответе на 5 вопрос учащийся, который учится на отлично и уверенный в своих силах и в этой контрольной, с уверенностью скажет, что это событие для него является достоверным. В то время как очень слабый учащийся, которому очень тяжело дается математика, в свою очередь может дать ответ, что для него событие является невозможным. Событие 9 является очень маловероятным, но, тем не менее, возможным, так как даже отличницы не застрахованы от двоек. Здесь важна роль учителя, который должен оценивать правильность тех или иных ответов, и обращать внимание, что на одни и те же вопросы разные учащиеся могут дать разные ответы, и каждый будет прав.

Важно уже в 5 классе давать учащимся задачи следующего плана:

Данила и Наташа заспорили, кто из них будет первым читать интересную книгу. Тогда Наташа предложила сыграть в игру и книгу отдать победителю. Они взяли вертушку, которая изображена на рис.1,

     и установили следующие правила игры: каждый из них поочередно крутит вертушку; если стрелка останавливается в области 1, то 1 очко получает Наташа, а если – в области 2, то 1 очко получает Данила. Если стрелка попадает в область 3, то никто из ребят не получает очков. Кто первым наберет 20 очков, тот считается победителем и получает книгу. Как вы думаете, при таких правилах игра будет справедливой?

Учащиеся еще не знакомы с понятием вероятность и при ответе на вопрос должны опираться на свою интуицию. Они должны понимать, что у Наташи больше шансов выиграть, чем у Данилы, так как область 1 в два раза больше, чем область 2, и больше вероятности, что вертушка остановится в области 2.   

Очень важным элементом стохастики является анализ данных и начальным этапом анализа данных является работа с таблицами и диаграммами, которую необходимо начинать в 5 классе.

Начинать рассмотрение таблиц нужно с рассмотрения уже известных учащимся таблиц, в частности: страница классного журнала, расписание уроков и т.п. С такими таблицами учащиеся чаще всего уже уметь работать и извлекать из нее всю необходимую им информацию.

Рассмотрим расписание уроков. Учащиеся уже наверняка умеют им пользоваться, извлекать из него необходимую информацию. Из расписания можно узнать, в каком кабинете будет проходить нужный урок, определить количество уроков в день. Рассмотрим такую ситуацию: Оля – учится в 5-А классе, а ее подружка из соседнего дома в 5-Б классе, нужно узнать, по каким дням они могут вместе возвращаться домой. Имея перед собой расписание, можно быстро определить такие дни.

Часто в таблице для анализа информации необходимо бывает просуммировать содержащиеся в ней данные. Поэтому часто в таблицу включен столбик или строка «Всего» или «Итого», которые содержат полученные суммы. 

В таблице№1  представлены результаты наблюдений за погодой в течение четырех месяцев.

Таблица №1.

Погода	Месяцы				Всего
	Декабрь	Январь	Февраль	Март
Ясно	5	9	7	10
Пасмурно	19	10	15	10
Переменная облачность	7	12	6	11

Заполните последний столбец.

Используя таблицу, ответьте на следующие вопросы:

1) в каком месяце было больше всего ясных дней?

2) В каких месяцах было одинаковое число пасмурных дней?

3) Сколько всего пасмурных дней было за четыре месяца

4) Сколько ясных дней было за всю зиму?

5) Какая погода преобладала в феврале?

Здесь и работа со строками и со столбцами, и подсчет суммы нескольких ячеек.

 Часто приходится пользоваться не только готовыми таблицами, но и составлять их самим. Рассмотрим следующий пример.

Старосте класса поручили выяснить, как добираются до школы ее одноклассники. Она опросила всех учащихся и представила данные в виде таблицы:

Средство передвижения	Подсчет голосов	Число учащихся
Пешком На автобусе На велосипеде	/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /	12 8 4
	Всего	24

Из таблицы видно, что староста опросила 24 ученика и половина из них добирается до школы пешком, а треть – на автобусе.

Рассмотрим пример, показывающий практическую ценность сбора и анализа статистических данных.

Вы решили в свободное время собраться классом и организовать некоторое классное мероприятие, но еще не решили, что именно. Было бы целесообразным учесть мнение большинства учащихся класса, а для этого нужно провести опрос: «Как бы вы хотели провести свободное время классом?» и предложить варианты ответов. Результаты нужно занести в таблицу.

 Например, получили следующие результаты:

Таблица №2.

Сходить в кино	/ / / / /	5
Сходить в поход	/ / / / / / / / / /	10
Устроить дискотеку	/ / / /	4
Сходить в планетарий	/ /	2

Рассматривая эту таблицу, мы делаем вывод, что лучше всего будет сходить в поход, так как большинством учащихся класса был выбран именно этот вариант.

Таблица является одним из способов представления информации, но более наглядным является графическое представление данных. Это различные диаграммы: линейные, столбчатые и круговые.

Построим столбчатую диаграмму по нашей таблице:

По диаграмме мы сразу видим, что большинство учащихся хочет сходить в поход. И лишь два человека желают посетить планетарий.

Для представления соотношения между частями некоторого единого целого, удобно пользоваться круговыми диаграммами. Для нашего примера она будет выглядеть следующим образом:

В 5 классе учащиеся должны уметь читать диаграммы. Для отработки таких умений нужно рассматривать задания следующего типа.

Используя диаграмму №3, ответьте на вопросы:

1) в каком месяце в селе родилось больше всего детей?

2) В каком месяце родилось столько же детей, сколько в апреле?

3) В какие месяцы родилось по два ребенка?

4) Сколько детей родилось в марте?

5) Сколько детей родилось за первую половину года?

6) Сколько детей родилось за весь год?