Вспомогательные раскраски в шахматном порядке

17. В каждой клетке доски 5^х5 клеток сидит жук. В некоторый момент все жуки переползают на соседние (по горизонтали или вертикали) клетки. Обязательно ли при этом остается пустая клетка?

Решение: Так как общее число клеток шахматной доски 5^х5 клеток нечетно, то черных и белых клеток не может быть поровну. Пусть для определенности черных клеток будет больше. Тогда жуков, сидящих на белых клетках, меньше, чем черных клеток. Поэтому хотя бы одна из черных клеток остается пустой, так как на черные клетки переползают только жуки, сидящие на белых клетках.

 

 

18. Можно ли замостить костями домино размером 1^х2 шахматную доску размером 8^х8, из которой вырезаны два противоположных угловых поля?

Решение: вырезаны поля одного цвета, пусть для определенности черного. Поэтому остается 32 белых и 30 черных клеток. Так как кость домино всегда накрывает одну белую и одну черную клетку, то костями домино нельзя замостить шахматную доску 8^х8 клеток, из которой вырезаны два противоположных угловых поля.

 

19. Докажите, что доску размером 10^х10 клеток нельзя разрезать на фигурки в форме буквы Т, состоящие из четырех клеток.

Решение: Предположим, что доска 10^х10 клеток разбита на такие фигурки. Каждая фигурка содержит либо 1, либо 3 черные клетки, т.е. всегда нечетное число. Самих фигурок должно быть 100/4=25 штук. Поэтому они содержат нечетное число черных клеток, а всего черных клеток 100/2=50 штук. Получено противоречие.

 

 

                                  

 

Задачи о раскрасках

20. Плоскость раскрашена в два цвета. Докажите, что найдутся две точки одного цвета, расстояние между которыми ровно 1.

Решение: Рассмотрим правильный треугольник со стороной 1.                            

се три его вершины не могут быть разного цвета, поэтому две вершины

имеют один цвет; расстояние между ними ровно 1.                                                

21. Плоскость раскрашена в три цвета. Докажите, что найдутся две точки одного цвета, расстояние между которыми ровно 1.

Решение: Предположим, что любые две точки, лежащие на расстоянии 1, окрашены в разные цвета. Рассмотрим правильный треугольник АВС со

стороной 1; все его вершины разного цвета. Пусть точка А₁ симметрична А

относительно прямой ВС. Так, как А₁В = А₁С=1, то цвет точки А отличен от

цветов точек В и С, т.е. она окрашена в тот же цвет, что и точка А. Эти рассуждения показывают, что если АА₁= 2, то точки А и А₁ одного цвета. Поэтому все точки окружности радиуса 2 с центром А одного цвета. Ясно, что на этой окружности найдутся две точки, расстояние между которыми ровно 1. Получено противоречие.

 

                                         С₁                   А₁

 

                                                                       

 

                                                             В

                                                 1

                                          

                    А                 С

 

22. Плоскость раскрашена в семь цветов. Обязательно ли найдутся две точки одного цвета, расстояние между которыми равно 1?

Решение: Можно привести пример раскраски в семь цветов плоскости, для которой расстояние между любыми двумя одноцветными точками не равно 1. Разобьем плоскость на равные шестиугольники со стороной а и окрасим их, как показано на рис. (точки, принадлежащие двум или трем шестиугольникам, можно красить в любой из цветов этих шестиугольников). Наибольшее расстояние между точками одного цвета, лежащими в одном шестиугольнике, не превосходит 2а, а наименьшее расстояние между точками одного цвета, лежащими в разных шестиугольниках, не меньше длины отрезка АВ (см. рис.). Ясно, что АВ² =АС²+ВС²=4а²+3а²=7а²>(2а)². Поэтому если 2а<1< 7а, т.е.

1/7<а<1/2, то расстояние между точками одного цвета не может быть равно 1.

 

 

                

 

 

23. Можно ли шашечную доску размером 10^x10 замостить плитками размером 1^x4?

Решение: Раскрасим доску в четыре цвета, как показано на рис. Легко сосчитать, что клеток второго цвета 26, а четвертого 24. Каждая плитка 1^x4 накрывает по одной клетке каждого цвета. Поэтому плитками 1^x4 нельзя замостить доску 10^x10, так как иначе клеток каждого цвета было бы поровну.

Первый цвет          

Второй цвет

Третий цвет

Четвертый цвет

 

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

   Когда мы открываем математические книги или журналы, то вольно или невольно наш взгляд останавливается на нестандартных занимательных задачах. Необычность ситуации, неочевидность ответа на поставленный вопрос заинтриговывает нас, и мы начинаем нелегкий поиск пути, ведущего к решению задачи.

    Многие считают занимательные задачи средством для приятного времяпровождения, отдыха, но если вдуматься, то становится ясной их гораздо более важная роль. Несомненно, что именно занимательные (или нестандартные) задачи являются одним из самых мощных инструментов развития человеческого интеллекта. Человеку в течение всей жизни приходится не один раз оказываться в затруднительном положении, выход их которого можно найти с помощью логических рассуждений. А способность логически мыслить, и отрабатывается на решении нестандартных занимательных задач, при решении которых развивается интеллект человека. И заниматься этим надо уже в детстве и юности. В своей работе мы попытались собрать разные виды таких задач. Иллюстрации делают решения задач более понятными и доступными. Задачи, по нашему мнению, проверяют не знания, а умение логически рассуждать, они учат этому умению

Относительно математики до сих пор существуют самые странные предрассудки. Одни говорят, что заниматься математикой могут только исключительные, одаренные особыми способностями умы, другие утверждают, что для этого необходима особая «математическая память» для запоминания формул. Мы считаем, что это не так, всему можно научиться. Известный русский математик В.П. Ермаков говорил: «В математике следует помнить не формулы, а процесс мышления ».

Основную часть нашей работы мы разбили на разделы, содержащие каждый однородные задачи в порядке возрастания их трудности. Мы считаем, что проблема нашей работы была раскрыта, а цели достигнуты.

 

Выводы:

 1. В ходе работы были изучены и поняты основные виды нестандартных задач.

2. Выявлены общие подходы к решению нестандартных задач.

      3. Были наработаны навыки в решении таких задач.

Во время выполнения данной работы я испытал некоторые трудности в поиске нужной литературы, но все же мне удалось найти очень увлекательные книги. Все что связано с математикой вызывает у меня большой интерес, мне нравиться изучать её как в школе, так и из дополнительной литературы. Может быть, поэтому я и хочу поступать туда, где есть математика. Изучение литературы и решение задач доставило мне удовольствие, и я надеюсь, что опыт выполнения этой работы пригодится мне в будущем.

 

 

ЛИТЕРАТУРА

 

1. Ахадов А.А., Кордемский Б.А. Удивительный мир чисел: Книга для учащихся.- М.: Просвещение, 1986.- 144с.

2. Беррондо М. Занимательные задачи: Перевод с французского / Перевод Сударева Ю.Н. – М.: Мир, 1983.-230с.

3. Гик Е.Я. Занимательные математические игры. – 2-е издание, переработанное и дополненное. - М.: Знание, 1987.- 160с.

4. Игнатьев Е.И. В царстве смекалки / Под редакцией М.К. Потапова. – 2-е издание.- М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981.- 208с.

5. Леман И. Увлекательная математика. Перевод с немецкого. - М.: Знание, 1985.- 272с.

6. Лиман М.М. Школьникам о математике и математиках. – М.: Просвещение, 1981.- 80с.

7. Лойд С. Математическая мозаика. / Перевод с английского Сударева Ю.Н. – М.: Мир, 1980.- 344с.

8. Петраков И.С. Математические олимпиады школьников: Пособие для учителей.- М.: Просвещение, 1982.- 96с.

9.  Прасолов В.В. Задачи по планиметрии. Часть 2. - 2-е издание, переработанное и дополненное.- М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1991г.- 240с.

 

Рецензия

Данная работа включает в себя следующие разделы: «Введение», «Нестандартные задачи», «Заключение», «Литература». Введение дает краткий обзор литературных источников о нестандартных задачах и их роли во всестороннем развитии человека, содействии формированию логически мыслящей личности. Автор излагает взгляды виднейших ученых математиков на определение задач такого рода. Подводя итоги изучению физико-математической литературы, автор приходит к выводу, что решение нестандартных задач является шагом вперед в развитии математических знаний, умений и навыков, должно обогащать знания и опыт, учить ориентироваться в различных ситуациях. Основной целью этой части работы является изучение работ не только русских, но и зарубежных научных деятелей. Ценными является анализ решения задач на логику, интуицию и догадку, эрудицию и владение методами математики.

Вторая часть работы разбита на разделы, содержащие разные виды задач: задачи на чет и нечет, делимость, инварианты, раскраски в шахматном порядке, задачи на раскраски, задачи на логику. Они содержат основные теоретические сведения по решению данных задач. Рассмотрены подходы и пути решения нестандартных задач. Используя материал изучаемой литературы, автор пытается сам составить логические задачи.

В третьем разделе содержатся выводы. Автор говорит о несомненном положительном влиянии нестандартных задач на развитие интеллекта человека. Работа отвечает поставленным целям – исследованию и изучению отдельных типов нестандартных задач, ознакомлению с их решениями. Выводы обоснованы проведенным исследованием. Работа имеет практическую направленность, актуальна на современном этапе развития образования.