Тригонометрические уравнения повышенной сложности

I . Раздел 5:

1) №5.1; 5.2; 5.3; 5.4; 5.9; 5.11 – уравнения, решаемые как квадратные относительно одной из тригонометрических функций, с применение формул понижения степени.

2) №5.10; 5.12 – уравнения, решаемые разложением на множители с применением формул тригонометрии.

3) №5.13; 5.14 – однородные уравнения 2-ой степени.

4) №5.5; 5.6; 5.7; 5.8 – уравнения, решаемые с применением свойства ограниченности тригонометрических функций. Примечательно то, что таких уравнений в школьном курсе алгебры не предлагается вообще.

№5.6.

Решите уравнение с os x = х² + 1.

с os x £ 1 при всех значениях х.

х² + 1 ≥ 1 при всех значениях х.

Тогда данное уравнение имеет решение только при выполнении двух условий:

с os x = 1 и х² + 1 = 1, т.е.

            х = 0.

Ответ: х = 0.

II . Раздел 6:

Рассматривая тригонометрические уравнения из этого раздела, я заметила, что большая часть уравнений относится к тем, которые решаются а) разложением на множители: №6.23; 6.25; 6.26; 6.27; 6.28; 6.31; 6.32; 6.33; 6.34; 6.35; 6.36; 6.37; 6.38; 6.40; 6.43; 6.44; 6.45; 6.46; 6.47; 6.48; 6.51; 6.52; 6.54; 6.60; 6.61; 6.62; 6.63; 6.65; 6.67; 6.68; 6.74; 6.75; 6.81; 6.82.

Далее по количеству следуют б) уравнения, сводящиеся к квадратным: №6.24; 6.39; 6.41; 6.43; 6.44; 6.53; 6.55; 6.56; 6.57; 6.58; 6.59; 6.64; 6.69; 6.70; 6.71; 6.72; 6.77; 6.78; 6.79; 6.80.

Кроме этого есть уравнения, которые после преобразований с применением соответствующих формул тригонометрии сводятся к в) простейшим: №6.29; 6.48; 6.50; 6.66; 6.76.

В этом разделе всего лишь три уравнения, которые решаются как г) однородные: №6.42; 6.46; 6.65.

С решением таких уравнений мы сталкиваемся и на уроках алгебры, поэтому я не привожу решение таких уравнений, о них говорилось выше.

Здесь же есть ещё и уравнения, которые решаются совершенно незнакомым мне методом – д) методом вспомогательного угла: №6.46; 6.65; 6.73; 6.74; 6.75.

В чём суть этого метода?

Рассмотрим уравнение вида А sin х + Вс os x = С, где А, В, С – некоторые числа и                        А × В ≠ 0. Так как А² + В² > 0, то разделив обе части данного уравнения на число , перепишем уравнение в виде а sin х + вс os x = с, где ,   

Так как а² + в² = 1, то можно подобрать такой угол α, что а = sin α и в = с os α. Тогда уравнение а sin х + вс os x = с можно записать в виде с os x с os α + sin х sin α = с, или в виде с os ( x – α) = с.

Если подобрать такой угол β, что а = с os β и в = sin β, то уравнение а sin х + вс os x = с можно записать в виде sin (х + β) = с.

Таким образом, решение данного уравнения сводится к решению простейшего уравнения.

Решу этим методом №6.74.

sin 2х + 2 sin ² х – 1 = 2с os x ,

sin 2х + 2 ×  – 1 = 2с os x ,

sin 2х + 1 – с os 2 x – 1 = 2с os x ,

sin 2х – с os 2 x = 2с os x .

Разделим все члены уравнения на число . Получим:

sin 2х – с os 2 x = с os x ,

– ( с os 2 x – sin 2х) = с os x ,

– ( с os с os 2x – sin sin 2 х ) = с os x,

– с os (2x + ) = с os x,

с os (2x + ) + с os x = 0,

2 с os (  + ) с os (  + ) = 0,

с os (  + ) = 0                  или                   с os (  + ) = 0,

 +  =  + π n , n Î Z                                     +  =  + π k , k Î Z ,

 =   + π n , n Î Z                                            =  + π k , k Î Z ,

x_n =                                            x_k =

Ответ: x_n = , x_k =

Хочется ещё раз отметить, что при решении этого уравнения использовался не только метод вспомогательного угла, но и метод разложения на множители.

В этом разделе предлагаются также е) уравнения, решаемые методом оценки обеих частей: №6.83; 6.84; 6.85; 6.86; 6.87; 6.88 и два ж) иррациональных тригонометрических уравнения: №6.77; 6.78.

№6.83.

sin х = х² + 2х + 2.

В правой части данного уравнения выделим квадрат суммы, получим:

sin х = (х + 1)² + 1.

Оценим обе части этого уравнения:

sin х £ 1 и (х + 1)² + 1 ≥ 1.

Чтобы данное уравнение имело решение необходимо выполнение двух условий:

sin х = 1 и (х + 1)² + 1 = 1.

Решаем второе уравнение: х + 1 = 0,

                                         х = – 1.

Это значение х не является решением первого уравнения sin х = 1. Значит, данное уравнение решений не имеет.

Ответ: решений нет.

№6.77.

Так как правая часть уравнения неотрицательная, то и левая часть должна быть неотрицательной, т.е. с os x ≥ 0.

Возведём обе части уравнения в квадрат:

10с os ² x = 4с os x – с os 2 x ,

10 с os ² x = 4с os x – (2с os ² x – 1),

12с os ² x – 4с os x – 1 = 0.

Пусть с os x = t, тогда 12t² – 4t – 1 = 0,

                                t₁ = , t₂ = – .

Если t = , то с os x = ,

                    х = ± arccos + 2 π n, n Î Z,

                    х = ±  + 2π n , n Î Z .

Если t = – , то с os x = – ,

                       корней нет, т. к. с os x ≥ 0.

Ответ: х = ±  + 2π n , n Î Z .

 

Заключение

 

Изучив литературу по выбранной теме, я узнала очень много интересных фактов из истории развития тригонометрии как науки, узнала очень много до сих пор не известных мне имён математиков прошлого.

Я повторила решение тригонометрических уравнений школьного курса алгебры и научилась решать уравнения методом введения вспомогательного угла – такие уравнения встречаются в сборнике для проведения итоговой аттестации выпускников.

Кроме этого мне показался интересным ещё один способ решения уравнений: метод оценки.

Кроме этого я сделала классификацию уравнений по способу их решения, что, я надеюсь, поможет моему преподавателю в дальнейшей работе при изучении данной темы.

Я планирую продолжить эту работу и рассмотреть тригонометрические уравнения, предлагаемые на вступительных экзаменах в высшие учебные заведения и на ЕГЭ.

 

Используемая литература

1. Дорофеев Г. В., Муравин Г. К., Седова Е. А. Сборник заданий для подготовки и проведения письменного экзамена по математике (курс А) и алгебре и началам анализа (курс В) за курс средней школы. 11 класс. – М.: Дрофа, 2003.

2. Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П. и др. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2003.

3. Королёв С. В. Тригонометрия на экзамене по математике: учебное пособие. – М.: «Экзамен», 2006.

4. Решетников Н. Н. Материалы курса «Тригонометрия в школе». Лекции 1 – 8. – М.: Педагогический университет «Первое сентября», 2006.