Понятие о статистических индексах, их значение и задачи в изучении коммерческой деятельности

 

При сопоставлении каких-либо данных, характеризующих экономические явления или процесс во времени и в пространстве, широко используются относительные статистические показатели – индексы. Они позволяют рассчитать и соизмерить сложные социально-экономические явления, особенно состоящие из непосредственно несопоставимых элементов. Индексы основаны на отчетных и базисных данных в зависимости от отношения показателей к содержанию исследования. Элементами индексов являются индексируемая величина, ее тип (форма), вес, срок исполнения. Использование индексов позволяет создавать математические модели и проводить расчеты относительно финансового положения фирмы и планов ее развития.

При анализе своей деятельности фирма проводит исследования и фиксирует заключение о факторах, воздействующих на ее работу. Использование индексов позволяет установить количественные взаимосвязи между значимыми для фирмы показателями, которые приводятся к некоторому общему знаменателю, делающему их сравнимыми. Индексный метод широко применяется для изучения последовательного изменения явлений, как способ изучения их динамики, для сопоставления в пространстве, позволяя выделить и измерить влияние факторов на изучаемое явление.

Индексы широко применяются в экономических разработках государственной и ведомственной статистики. А также имеет широкое применение в статистики торговли. В зависимости от характера изучаемого явления здесь вычисляются индексы объемных и качественных показателей. Посредством индексов объемных показателей характеризуются изменения объема поступления и реализации товаров, уровня товарных запасов и т.д. Индексами качественных показателей характеризуются изменения цен, производительности труда, издержек обращения, прибыли и других показателей.

Статистический индекс – это относительная величина сравнения сложных совокупностей и отдельных их единиц. При этом под сложной понимается такая статистическая совокупность, отдельные элементы которой непосредственно не подлежат суммированию.

Например, ассортимент продовольственных товаров состоит из товарных разновидностей, первичный учет которых на производстве и в оптовой торговле ведется в натуральных единицах измерения: молоко – в литрах, мясо – в центнерах, яйцо – в штуках, консервы – в условных банках и т.д.

В этих сложных статистических совокупностях единицами наблюдения являются товары с различными потребительскими свойствами. Данные о натурально-вещественной форме реализации отдельных товарных разновидностей непосредственно суммированию не подлежат. Для получения в сложных статистических совокупностях обобщающих (суммарных) величин прибегают к индексному методу.

Основой индексного метода при определении изменений в производстве и обращении товаров является переход от натурально-вещественной формы выражения товарных масс к стоимостным (денежным) измерителям. Именно посредством денежного выражения стоимости отдельных товаров устраняется их несравнимость как потребительных стоимостей и достигается единство.

В зависимости от степени охвата подвергнутых обобщению единиц изучаемой совокупности индексы подразделяют на индивидуальные (элементарные) и общие.

Индивидуальные индексы характеризуют изменения отдельных единиц статистической совокупности. Например, если при получении оптовой реализации продовольственных товаров определяются изменения в продаже отдельных товарных разновидностей, то получают индивидуальные (однотоварные) индексы.

Общие индексы выражают свободные (обобщающие) результаты совместного изменения всех единиц, образующих статистическую совокупность. Например, показатель изменения объема реализации товарной массы продуктов питания по отдельным периодам будет общим индексом физического объема товарооборота. Из общих индексов выделяют иногда групповые индексы (субиндексы), охватывающие только часть (группу) единиц в изучаемой статистической совокупности.

Важной особенностью общих индексов является то, что они обладают синтетическими и аналитическими свойствами.

Синтетические свойства индексов состоят в том, что посредством индексного метода производится соединение (агрегирование) в целое разнородных единиц статистической совокупности.

Аналитические свойства индексов состоят в том, что посредством индексного метода определяется влияние факторов на изменение изучаемого показателя. Использование индексов в аналитических целях – один из важных аспектов экономических разработок. на основе изучения состава и роли факторов, выявления силы их действия осуществляются возможности квалифицированного управления развитием экономических процессов не только в нужном направлении, но и с заранее заданными параметрами.

Для определения индекса надо произвести сопоставление не менее двух величин. При изучении динамики социально-экономических явлений сравниваемая величина (числитель индексного отношения) принимается за текущий (или отчетный) период, а величина, с которой производится сравнение, – за базисный период. Если в индексном отношении сравнивается величина фактического уровня развития явления с величиной планового задания, то основание сравнения называют плановым уровнем.

Основным элементом индексного отношения является индексируемая величина (значение признака статистической совокупности, изменение которой является объектом изучения). Так, при изучении изменения цен индексируемой величиной является цена единицы товара p. При изучении изменения физического объема товарной массы в качестве индексируемой величины выступают данные о количестве товаров в натуральных измерителях q.

Индивидуальные индексы принято обозначать i, а общие индексы – I .

Индивидуальные индексы физического объема реализации товаров

 

,

 

при этом q₁ и q₀ – количество продажи отдельной товарной разновидности в текущем и базисном периодах в натуральных измерителях.

Для определения индивидуальных индексов цен i_p применяется формула

 

,

 

где p₁ и p₀ – цены за единицу товара в текущем и базисном периодах.

Результат расчета индексных отношений может выражаться в коэффициентах или в процентах.

Общие индексы могут исчисляться как по агрегатной, так и по средней форме (среднего арифметического или среднего гармонического индекса). Выбор формы общих индексов зависит от характера исходных данных.

Основной формой общих индексов являются агрегатные индексы. В числителе и знаменателе общих индексов в агрегатной форме содержатся соединенные наборы (агрегаты) элементов изучаемых статистических совокупностей.

Достижение в сложных статистических совокупностях сопоставимости разнородных единиц осуществляется введением в индексные отношения специальных сомножителей (соизмерители) индексируемых величин. Они необходимы для перехода от натуральных измерителей разнородных единиц статистической совокупности к однородным показателям. При этом в числителе и знаменателе общего индекса изменяется лишь значение индексируемой величины, а их соизмерители являются постоянными величинами и фиксируются на одном уровне (текущего и базисного периода). Это необходимо для того, чтобы на величине индекса сказывалось лишь влияние фактора, количества и др. Произведение каждой индексируемой величины на соизмеритель образует в индексном отношении определенные экономические категории.

Основным условием применения в статистике коммерческой деятельности агрегатных индексов является наличие информации о поступлении или реализации товаров в натуральных измерителях и ценах единицы товара.

Формула агрегатного индекса цен с отчетными весами (Индекс Пааше):

 

;

Индекс Пааше характеризует влияние изменения цен на стоимость товаров, реализованных в отчетном периоде.

Формула агрегатного индекса цен (Индекс Ласпейреса):

 

;

Индекс Ласпейреса показывает влияние изменения цен на стоимость количества товаров, реализованных в базисном периоде.

Применение индексов Пааше и Ласпейреса зависит от цели исследования. Если анализ проводится для определения экономического эффекта от изменения цен в отчетном периоде по сравнению с базисным, то применяется индекс Пааше, который отображает разницу между фактической стоимостью продажи товаров в отчетном периоде  и расчетной стоимостью продажи этих же товаров по базисным ценам .

Если целью анализа является определение объема товарооборота при продаже в предстоящем периоде такого же количества товаров, что и в базисном периоде, но по новым ценам, то применяется индекс Ласпейреса. Этот индекс позволяет вычислить разность между суммой фактического товарооборота базисного периода  и возможного объема товарооборота при продаже тех же товаров по новым ценам . Эти особенности индекса Ласпейреса обуславливают его применение при прогнозировании объема товарооборота в связи с намеченными изменениями цен на товары в предстоящем периоде.

Практическая часть

Задача №1.

Имеются данные об объеме выпущенной продукции торговых предприятий региона, млн. руб.:

Номер предприятия	Объем выпущенной продукции	Номер предприятия	Объем выпущенной продукции
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20	39 31 30 42 54 42 47 37 28 53 54 53 27 29 50 43 37 56 63 48	21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40	34 52 27 43 31 51 37 29 63 55 47 51 54 33 31 45 38 39 41 53

 

На основании данных:

1. Постройте ряд распределения предприятий по объему выпущенной продукции, образовав, пять групп с равными интервалами.

2. Определите структуру предприятий по объему выпущенной продукции.

3. Вычислите средний объем продукции на одно предприятие.

Сделайте выводы.

Решение:

1. Разбиваем предприятия на 5 групп по объему выпущенной продукции и построим ряд распределений с равными открытыми интервалами.

 

i = млн. руб.

национальный счет статистический индекс

1) 27 – 34,2             (2,3,9,13,14,21,23,25,28,34,35) 11

2) 34,2 – 41,4 (8,1,17,27,37,38,39) 7

3) 41,4 – 48,6 (4,6,7,16,20,24,31,36) 8

4) 48,6 – 55,8 (5,10,11,12,15,22,26,30,32,33,40) 11

5) 55,8 – 63             (18,19,29) 3

2. На основании полученных данных группировки составим таблицу, в которой покажем распределение предприятий по объему выпущенной продукции и удельный вес предприятий.

 

Распределение предприятий по объему выпущенной продукции пищевой промышленности, за 2010 год

Группы предприятий по объему выпускаемой продукции, млн. руб.	Объем выпускаемой продукции, млн. руб.	Число предприятий, ед.	Удельный вес предприятий, %
27–34,2	330	11	27,5
34,2–41,4	268	7	17,5
41,4–48,6	357	8	20
48,6–55,8	580	11	27,5
55,8–63	182	3	7,5
ИТОГО	1717	40	100

 

3. Средний объем продукции на одно предприятие.

=  млн. руб.

Вывод: Данная группировка показывает, что наибольший объем выпущенной продукции имеют предприятия (3–4 группы) – 47.5% (937 млн. руб.) от всего объема выпущенной продукции, имея 19 предприятий от общего числа.

Задача №2.

Имеются следующие данные о ценах на предлагаемое к продаже жилье, в одном из городов, на 2005 год:

Цена 1 кв. м., руб.	Обща площадь, тыс. кв. м.
7500–10000 10000–12500 12500–15000 15000–17500 17500–20030	29,4 20,5 7,3 7,0 4,0

 

1. Рассчитайте среднюю цену 1 кв.м., жилья.

2. Какой вид средней применили в решении данной задачи.

Решение

1. Рассмотрим усредненное значение цены 1 кв. м., используя данные из условия, и получим таблицу.

 

Данные о ценах на предлагаемое к продаже жилье в городе, на 2005 год

Цена 1 кв.м., руб.	Середина интервала (xi)	Общая площадь, тыс. кв. м. (ni)
7500–10000 10000–12500 12500–15000 15000–17500 17500–20030	8750 11250 13750 16250 18750	29,4 20,5 7,3 7,0 4,0
ИТОГО		68,2

Найдем среднюю цену 1 кв.м. жилья.

 

 

Вывод: Средняя цена за 1 кв. м. жилья равна 11392,96 .

Задача №3.

В порядке случайной повторной выборки было отобрано 400 единиц готовой продукции предприятия, из которых 20 ед. были забракованы. с вероятностью 0,954 определите пределы, в которых находится доля бракованной продукции предприятия.

Решение

1. Определение ошибок выборочных характеристик позволяет установить вероятные границы нахождения соответствующих генеральных показателей для доли:

 

p=w±Δ_w,

 

где w – выборочная доля;

Δ_w – ошибка выборочной доли.

Выборочная доля: w = ,

где m-количество забракованных единиц;

n-численность выборки.

w= .

Ошибка выборочной доли находим по формуле:

Δ_w= ;

 

отсюда: p=5%±2%, или 3% ≤p≤7%.

Вывод. С вероятностью 0,954 можно утверждать, что доля бракованной продукции находится в пределах от 3% до 7%.

Задача №4.

Имеются следующие данные о производстве электропылесосов на заводе, за 2006–2010 годы.

 

Годы	2006	2007	2008	2009	2010
Производство пылесосов, тыс. шт.	4470	4707	4319	3657	1591

 

Вычислите:

1. Абсолютные приросты, темпы роста, темпы прироста (базисные и цепные).

2. Средние показатели за 5 лет: производство пылесосов, темп роста и темп прироста.

Результаты расчетов оформите в таблице.

Изобразите динамический ряд на графике.

Сделайте выводы.

Решение

1. Абсолютные приросты, темп роста, темпы прироста (базисные и цепные) находим по формулам:

 

Δy^б = y_i-y₀;

Δy^ц = y_i-y_i-1;

T = ;

T = ;

T = ;

T = ;

 

Полученные данные заносим для наглядности в таблицу.

 

Расчетная таблица производства электропылесосов на заводе, за 2006–2010 гг.

Годы	2006	2007	2008	2009	2010
Производство пылесосов, тыс. шт.	4470	4707	4319	3657	1591
Δyб, тыс. шт.	-	237	-151	-813	-2879
Δyц, тыс. шт.	-	237	-388	-662	-2066
T , %	-	105,30	96,62	81,81	35,59
T , %	-	105,30	91,76	84,67	43,51
T , %	-	5,30	-3,38	-18,19	-64,41
T , %	-	5,30	-8,24	-15,33	-56,49

 

2. Найдем средние значения:

2.1. Производства пылесосов

 

=  тыс. шт.

 

2.2 Темпа роста:

;

 

2,3 Темпа прироста:

 

.

 

3. Изобразим динамический ряд на графике производства пылесосов на заводе, за 2006–2010 гг.

Вывод. Данное производство пылесосов за 2007–2010 гг.: средний темп роста (Т_р) составил 77,2%, а прирост (Т_пр) -22,8%.

Задача №5.

Имеются следующие данные о себестоимости и объемах производства продукции промышленного предприятия, за 2008–2009 год.

 

Изделие	2008 год		2009 год
	Себестоимость ед. продукции, руб. z0	Произведено, тыс. шт. q0	Себестоимость ед. продукции, руб. z1	Произведено, тыс. шт. q1
А Б В	220 183 67	63,4 41,0 89,2	247 215 70	52,7 38,8 91,0

 

Определите:

1. Индивидуальный и свободный индексы себестоимости продукции.

2. Свободный индекс физического объема продукции.

3. Свободный индекс затрат на производство продукции.

Покажите взаимосвязь свободных индексов.

Решение

1. Находим индивидуальные индексы себестоимости продукции по формуле:

 

;

 

Отсюда:

;

;

.

 

2. Найдем свободный индекс себестоимости:

 

.

 

3. Свободный индекс физического объема:

 

.

 

4. Свободный индекс затрат на производство продукции:

 

.

 

Вывод. Получив индексы, мы видим что повышение себестоимости продукции на 11,8% повлекло повышение затрат на производство продукции на 1,1%, при снижении объема продукции на 9,6%.

Задача №6.

Имеются следующие данные о выпуске одноименной продукции и ее себестоимости по двум заводам, за два квартала 2009 года.

 

Завод	Производство продукции, тыс. шт.		Себестоимость 1 ед., тыс. руб.
	I квартал	II квартал	I квартал	II квартал
1-й 2-й	100 50	100 100	1,0 0,9	0,9 0,8

 

Определите:

1. Индекс себестоимости переменного состава.

2. Индекс себестоимости постоянного состава.

3. Индекс структурных сдвигов.

Сделайте выводы.

Решение

1. Составим таблицу.

 

Расчетная таблица выпуск продукции по двум заводам, за два квартала 2009 года

Завод	I-й квартал		II-й квартал		Расчетные графы, тыс. руб.
	Производство продукции, тыс. шт. (q0)	Себестоимость ед. продукции, руб. (p0)	Производство продукции, тыс. шт. (q0)	Себестоимость ед. продукции, руб. (p0)	p0*q0	p1*q1	p0*q1
1-й 2-й	100 50	1000 900	100 100	900 800	100000 45000	90000 80000	100000 90000
Итого	150	x	200	x		170000	190000

 

2. Находим индекс переменного состава:

 

 

3. Индекс постоянного состава:

 

.

 

4. Индекс структурных сдвигов:

 

.

 

Вывод. По результатам видим, что за счет структурных сдвигов, цены снизились на 1,7%, с другой стороны видим, что если бы структура выпуска продукции не изменилась, средняя бы цена снизилась на 10,5%.

Задача №7.

Пять фирм, производящих качественную обувь, проранжированы по рангам, соответствующим оценке покупателями качества их продукции. Параллельно получены ранги этих фирм по результатам опросов магазинов розничной торговли.

Получены следующие результаты:

Ранг оценок 5-ти фирм по обуви, за 2010 год

Фирма	Ранг покупателей	Ранг продавцов
А Б В Г Д	1 2 3 4 5	2 1 5 4 3

 

Для определения связи между оценками покупателей и продавцов, вычислите коэффициент ранговой корреляции Спирмена.

Решение

 

Расчетная таблица для определения коэффициента корреляции рангов Спирмена между фирмами по обуви, за 2010 год

Фирма	Ранг покупателей, Rx	Ранг продавцов, Ry	Разность рангов, d=Rx -Ry	d
А Б В Г Д	1 2 3 4 5	2 1 5 4 3	-1 1 -2 0 2	1 1 4 0 4

 

Находим коэффициент корреляции рангов Спирмена по формуле:

 

 

Вывод. Зависимость ранга покупателя от ранга продавца заметная, т. к. коэффициент корреляции рангов Спирмена равен 0,5.

 

Задача №8

 

Имеются следующие данные о товарообороте и торговой площади по 15 продовольственным магазинам, за январь 2009 года

Номер магазина	Товарооборот, тыс. руб. (Y)	Торговая площадь, кв. м. (X)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15	131 31 164 33 161 68 65 102 89 165 140 115 58 73 87	163 32 101 36 180 117 96 96 105 113 30 118 20 115 103

 

Для изучения зависимости между товарооборотом и торговой площадью определите:

1. Параметры линейного уравнения корреляционной связи и теоретические (расчетные) уровня товарооборота.

2. Линейный коэффициент корреляции.

Сделайте выводы.

Решение

1. Из данных, вычислим средние данные:

 

кв. м.

тыс. руб.

 

2. Найдем параметры а₀ а₁ линейного уравнения регрессии:

26569 1024 10201 1296 32400 13689 9216 9216 11025 12769 900 13924 400 13225 10609	21353 992 16564 1188 28980 7956 6240 9792 9345 18645 4200 13570 1160 8395 8961

 

 

или     ;

y = 48.22+0,23x, – линейное уравнение регрессии.

3. Составим расчетную таблицу для определения корреляции:

 

Расчетная таблица для определения корреляции по товарообороту и торговой площади продовольственных магазинов, за январь 2009 года

Магазин
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15	68 -63 6 -59 85 22 1 1 10 18 -65 23 -75 20 8	32.2 -67.8 65.2 -65.8 62.2 -30.8 -33.8 3.2 -9.8 66.2 41.2 16.2 -40.8 -25.8 -11.8	2189.6 4271.4 391.2 3882.2 5287 -677.6 -33.8 3.2 -98 1191.6 -2678 372.6 3060 -516 -94.4	4624 3969 36 3481 7225 484 1 1 100 324 4225 529 5625 400 64	1036.84 4596.84 4251.04 4329.64 3868.84 948.64 1142.44 10.24 96.04 4382.44 1697.44 262.44 16646.64 665.64 139.24
Сумма		0	16551	31088	29092.4

 

Находим коэффициент корреляции:

 

Вывод. Связь между площадью торговых помещений и товарооборотом прямая и равна 55%. С ростом торговой площади на 1 кв. м., товарооборот в среднем увеличится на 23 тыс. руб.