Система дифференциальных уравнений теории пластичности

Äîïóñêàÿ èçîòðîïíîñòü è íåñæèìàåìîñòü äåôîðìèðóåìîãî òåëà, ñ÷èòàÿ äåôîðìàöèþ èçîòåðìè÷åñêîé (ïðîòåêàþùåé ïðè ïîñòîÿííîé òåìïåðàòóðå), ñòàöèîíàðíîé (áåç ìàññîâûõ è èíåðöèîí-

ных сил), пренебрегая упругими составляющими деформации, задачу теории пластичности можно свести к определению в каждой точке объема деформируемого тела в данный момент времени при заданных граничных условиях на наружной поверхности тела следующих величин:

— 6 компонентов тензора напряжений (2.4) (с учетом его симметричности);

— 6 компонентов тензора деформаций или скоростей деформаций;

— 3 компонента вектора перемещений или скорости течения.

Итого — 15 неизвестных функций.

Для их определения используется система дифференциальных уравнений, включающая

— 3 дифференциальных уравнения равновесия (2.5);

— 6 выражений компонентов тензора деформаций или скоростей деформаций через компоненты вектора перемещений (2.8) или скорости течения (2.21);

— 6 уравнений связи компонентов тензора напряжений с компонентами тензоров деформаций или скоростей деформаций, например:

    2()

_xx      _xx;



yy  2() yy ;

    



2()

zz     zz;

    

  2() (2.25)

xy  xy;

    

^    2()

xz  xz;

    

    2()

yz   yz ,

    

где Т _s / 3 — интенсивность касательных напряжений; функция

Т(Н) определяется из эксперимента (например, в виде (2.24)).

Итого 15 уравнений. Таким образом, приведенная система уравнений является замкнутой.

Используют различные виды функций Т(Н), характеризующие модели деформируемых сред (рис. 2.7). На рис. 2.7 представлены некоторые примеры моделей сред.

H

Т

1

H

Т

2



s

H

Т

3



s

H

Т

4



s

H

Т

5



s

Рис. 2.7. Модели пластических сред:

1 — линейновязкая Т = Н, где —коэффициент вязкости; 2 — идеальнопластическая Т = _s; 3 — вязкопластическая Т = _s + Н; 4 — вязкоидеальнопластическая (комбинация 1 и 2); 5 — жесткопластическая Т = _s + Н^с

Сформулированная задача называется к р а е в о й з а д а ч е й т е о р и и п л а с т и ч н о с т и. Ее решение в общем виде очень трудоемко, может быть выполнено только с помощью ЭВМ. Для решения задач на ЭВМ применяют следующие упрощающие методы: 1) линеаризации (замена модели среды упругой или линейновязкой) и сведения системы уравнений к линейной; 2) вариационный (сведения решения к минимизации функционала или решению системы линейных уравнений); 3) граничных интегральных уравнений. Для формирования достаточно общих алгоритмов применяют различные методы дискретизации (дробления) объема деформированного тела: 1) метод конечных элементов, 2) метод конечных разностей, 3) метод граничных элементов. На основе алгоритмов разрабатывают пакеты прикладных программ для решения различных краевых задач. В последнее время наиболее быстро развивается метод конечных элементов.

При решении инженерных задач краевую задачу сводят к плоской или осесимметричной, при этом уменьшается число неизвестных. Так, для плоской (двумерной) задачи число неизвестных сокращается с 15 до 8 (3 компонента тензора напряжений, 3 компонента тензора деформаций, 2 компонента вектора перемещений). Для решения применяют чаще всего инженерный метод и метод линий скольжения.

Пластичность и разрушение

П л а с т и ч н о с т ь — это способность металла деформироваться без разрушения. Количественная мера пластичности — с т е п е н ь д е ф о р м а ц и и с д в и г а, накопленная к моменту разрушения:

t_p

Λ_p  Hdt, (2.26)

0

где t_p — время деформации до разрушения.

Величину _р также называют п л а с т и ч н о с т ь ю и определяют экспериментально путем исследования влияния на пластичность схемы напряженного состояния. Основной характеристикой, влияющей на пластичность, является показатель напряженного состояния /T. В результате испытаний строят д и а г р а м м у п л а с т и ч н о с т и _р = f (/T) (рис. 2.8).



р



р

–



р

+

0

T



–

T



T





Рис. 2.8. Диаграмма пластичности

Диаграмма имеет области положительных и отрицательных значений /Т. Отрицательные значения /Т свидетельствуют о преобладании сжимающих напряжений, а положительные — о преобладании растягивающих. С точки зрения возможности разрушения наиболее опасны растягивающие напряжения, т. е. положительные значения /Т.

Из рис. 2.8 видно, что положительные значения /Т соответствуют меньшим значениям пластичности: ⁺_р < ^–_р .

По существу, пластичность является предельной степенью деформации сдвига, которую выдерживает металл без разрушения при данной схеме напряженного состояния. Поэтому условие деформирования без разрушения имеет вид

 < _р. (2.27)

Если использовать относительную величину = /_р, называемую степенью использования ресурса пластичности, то условие (2.27) будет иметь вид

< 1.     (2.28)

Очевидно, что до деформации = 0, в момент разрушения, когда = _р, = 1.

В настоящее время применяется кинетический подход к проблеме разрушения металлов, так как деформирование тела сопровождается накоплением повреждений. С учетом этого и принимая во внимание выражение (2.23), уточним условие (2.28):

t

Hdt

 ^  1, (2.29)

 

0  p

где интегрирование ведется вдоль траектории движения частицы.

Экспериментальная проверка модели (2.29) для различных условий деформирования (особенно для знакопеременной деформации) показала, что возможно значительное отклонение от экспериментальных данных в сторону увеличения. Поэтому дальнейшее уточнение модели (2.29) для случая монотонной холодной деформации предложено в виде

 a1 a 

    ^ _ ap                 d1, (2.30)

 

0

где  — поврежденность металла: а > 1 — коэффициент, учитывающий уменьшение поврежденности при знакопеременной деформации. Интегрирование выражения (2.30) при /Т = const дает

a

a ^a  ^  

 a_{ap                 0}  p  1 ,

т. е. уменьшает значения, подсчитанные по (2.28): = ^а.

П о в р е ж д е н н о с т ь — это степень пораженности металла микродефектами. Считается, что у исходного недеформированного металла = 0, в момент разрушения = 1. Экспериментально определены два пороговых значения поврежденности:

1) при _= 0,25…0,30 в металле образуются микропоры, не устраняемые при термообработке;

2) при _= 0,65…0,70 цепочки микропор образуют зародыши микротрещин, снижающие эксплуатационные свойства изделий.

В общем случае критерий деформирования без разрушения А. А. Богатова в холодном состоянии записывается в виде

k                    n_j                _i               a1 a 

(  a                d _j ) 1 ,

 

j1 i1         0  p

где n _j — число этапов знакопеременной деформации в j- м цикле пластической и термической обработки; k — число таких циклов; _j — уменьшение поврежденности металла на jм цикле термической обработки^[7].