Система аксиом геометрии Лобачевского
Схема аксиоматического построения геометрии выглядит следующим образом. 1. Рассматривается множество элементов произвольной природы, которые как-то условно называют и обозначают. Далее также условно обозначают операции и отношения между элементами этого множества. 2. Даётся список аксиом, выражающих свойства основных отношений или операций. 3. Даются определения остальных понятий и путём логических рассуждений выводятся теоремы. Система аксиом геометрии Лобачевского включает в себя: восемь аксиом связи, четыре аксиомы порядка, пять аксиом конгруэнтности, аксиому непрерывности и аксиому Лобачевского. Основные объекты: точка, прямая, плоскость. Основные отношения: „принадлежать", „лежать между", „быть конгруэнтными”. Аксиомы связи . Каковы бы ни были две точки, существует прямая, проходящая через эти две точки. . Каковы бы ни были две точки, существует не более одной прямой, проходящей через эти две точки. . На каждой прямой лежат две точки. Существуют три точки, не лежащие на одной прямой. . Каковы бы ни были три точки, существует плоскость, их содержащая. На каждой плоскости есть хотя бы одна точка. . Для любых трёх точек, не лежащих на одной прямой, существует не более одной плоскости, содержащей эти три точки. . Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости. . Если две плоскости имеют общую точку, то существует, по крайне мере, ещё одна общая точка. . Существуют, по крайне мере, четыре точки, не лежащие в одной плоскости. Аксиомы порядка . Если имеет место ABC (точка В лежит между точками А и С), то А, В, С - три различные точки, лежащие на одной прямой, и имеет место СBA. . Для любых двух точек А и В существует, по крайне мере, одна точка С такая, что имеет место АВС. . Из любых трёх точек, лежащих на прямой, одна и только одна лежит между двумя другими. . (Аксиома Паша). Пусть даны три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой, и прямая а, не проходящая ни через одну из этих точек. Если на прямой а есть точка, лежащая между точками А и В, то на прямой а есть точка, лежащая либо между В и С, либо между А и С. Определение. Отрезком АВ назовём множество всех точек С, лежащих между А и В, и сами эти точки. Обозначение. [AB] - отрезок АВ. Определение. Лучом ОА назовём множество всех точек Х, что имеет место . Обозначение. [ОА) - луч ОА. Аксиомы конгруэнтности . Дан отрезок UV и луч Аа. Тогда существует точка В [Aa) такая, что [AB] [UV] и [AB] [BA]. . Если [AB] [UV], [CD] [UV], то [AB] [CD]. . Если имеет место АВС и и [AB] [ ], [BC] [ ], то [AC] [ ]. 16 Определение. Углом назовём совокупность двух лучей с общим началом. Определение. Треугольником АВС назовём совокупность отрезков АВ, ВС, СА. . Дан угол (u,v) и луч Аа с заданной полуплоскостью, тогда в указанной полуплоскости существует единственный луч [Ab) такой, что (а,b) (u,v) и всякий угол конгруэнтен самому себе. . Пусть дан АВС и , [AB] [AB], [AC] [AC], . Тогда . Аксиома непрерывности IV. Пусть все точки прямой разбиты на два класса так, что выполняются условия: 1. Оба класса не пусты. 2. Каждая точка прямой отнесена к одному и только одному из классов. 3. Каждый класс есть выпуклое множество. Тогда в одном из классов существует граничная точка, т.е. такая точка, которая не лежит между двумя точками одного и того же класса. Аксиома Лобачевского V. Через точку, взятую вне прямой, в плоскости, определяемой этой прямой и точкой, можно провести по крайне мере две прямые, не пересекающие данную прямую. В связи с аксиоматическим построением теории возникают следующие три вопроса является ли данная система аксиом: 1) непротиворечивой, 2) независимой, 3) полной. Система аксиом называется непротиворечивой, если из неё нельзя получить путём логических рассуждений двух взаимно исключающих утверждений a и . Система аксиом называется независимой, если ни одну из аксиом системы S нельзя вывести из остальных. Система аксиом называется полной, если с помощью её можно доказать или опровергнуть любое предложение, сформулированное в терминах этой аксиоматики. Исследование аксиоматики по этим трём вопросам связано с построением модели (реализации, интерпретации). Построить или задать интерпретацию (модель) системы аксиом S - это значит: 1. Задать конкретное множество элементов произвольной природы, условно именуемых точками, прямыми, плоскостями; 2. Так определить отношения между элементами, условно выражаемые словами „принадлежать”, „между”, „быть конгруэнтным”, чтобы выполнялись все аксиомы системы S. Имеет место следующая теорема: Теорема. Система аксиом S непротиворечива, если она допускает хотя бы одну реализацию. Доказательство. Допустим, что S - противоречива, т.е. S→a и S→ . Пусть R - реализация S, тогда в R имеет место a и , что невозможно в силу конкретности основных понятий в R.
Популярное: Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (326)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |