Сплайн – интерполяция.

В данном программном продукте реализована возможность задавать дополнительные ограничения области интегрирования двумя двумерными сплайн – поверхностями (для подынтегральной функции размерности 3). Для задания этих поверхностей используются двумерные сплайны типа гибкой пластинки \4\.

Под сплайном (от англ. spline - планка, рейка) обычно понимают агрегатную функцию, совпадающую с функциями более простой природы на каждом элементе разбиения своей области определения. Сплайн – функция имеет следующий вид:

.                         (15)

Исходные данные представляют собой  троек точек .

Коэффициенты  и   определяются из системы:

,                                              (16)

где ,

.

Алгоритм расчета интеграла

Реализованный алгоритм включает следующие шаги:

1) выбирается начальное значение , разыгрываются случайные векторы из  и определяются  и ;

2) в зависимости от вида погрешности (абсолютная, относительная) определяется достигнутая погрешность; если она меньше целевой, вычисление прерывается;

3) по формулам (13) или (14) вычисляется новый объем выборки;

4) объем выборки увеличивается на 20%

5) переход к шагу 1;

6) конец.

ГЕНЕРАТОР ПСЕВДОСЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ

Генератор псевдослучайных чисел применительно к методу Монте – Карло.

В любом алгоритме использующем метод Монте – Карло генератор псевдослучайных чисел играет очень важную роль. Степень соответствия псевдослучайных чисел заданному распределению является важным фактором проведения качественных статистических испытаний.

Алгоритм генератора псевдослучайных чисел

В программе реализован конгруэнтный метод генерации псевдослучайных чисел \3\:

,                         (17)

где =8192,

=67101323.

Авторский код, реализующий защиту от переполнения был, реализован на С++. Перед использование первые три числа последовательности удаляются. Для получении чисел из интервала (0,1) все числа делятся на .

Проверка равномерности распределения генератора псевдослучайных чисел.

Проверка равномерности распределения псевдослучайных чисел проводилась с помощью стандартного критерия χ² \2\.

Были использованы 3 последовательности псевдослучайных чисел, определяемых стартовыми значениями 1, 1001, 1000000 длиной 300000.

Интервал (0,1) подразделялся на 50 равных интервалов и программно подсчитывались абсолютные частоты (рис. 1).

Рис. 1

Результаты проверки приведены в Таблице 1.

Таблица 1

Следовательно, равномерность распределения не отвергается на уровне 5%.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключение можно сказать, что поставленная задача была полностью выполнена. То есть на языке С++ были разработаны генератор псевдослучайных чисел, функция рассчитывающая интеграл методом Монте – Карло (Приложение 1); был проведен расчет тестовых многомерных интегралов (Приложение 2); в интегрированной среде разработки приложений Borland C++ Builder Enterprises 7.0 был создан программный продукт «CarloS», реализующий описанные выше алгоритмы (Приложение 3).