Теорема о сложении скоростей в сложном движении точки
Теорема. Абсолютная скорость точки, совершающей сложное движение, равна геометрической сумме относи-тельной и переносной скоростей этой точки: . Доказательство. Пусть O1X1Y1Z1 – основная (неподвижная) система координат; OXYZ – подвижная система координат (рис.1.7); M - точка, совершающая сложное движение. Пусть в момент времени t подвижная система координат занимает положение (I), движущаяся точка занимает положение M; в момент времени t1= t+Dt подвижная система занимает положение (II), движущаяся точка – положение M1.
Обозначим ab относительную траекторию точки M (ab – линия, жестко связанная с подвижной системой координат); обозначим m ту точку подвижной системы координат, с которой в момент времени t совпадает движущаяся точка M. В момент времени t1 точка m займет по отношению к неподвижной системе координат новое положение m1, соответствующее положению (II) подвижной системы координат, а движущаяся точка M будет совпадать уже с другой точкой, принадлежащей подвижной системе коор-динат. Обозначим эту точку , а ее положение в момент t1 обозначим p1 (рис.1.7). Из рисунка видно, что . (1.13) Обозначим, как в разд.1.2 этой главы, – радиус-вектор точки M, определяющий ее положение в неподвижной системе координат (рис.1.7); – радиус-вектор точки M, определяющий ее положение в подвижной системе координат. Тогда – вектор абсолютного перемещения точки M за промежуток времени Dt; – вектор относительного перемещения точки M за Dt (отметим, что D =[x(t1)–x(t)] +[y(t1)–y(t)] +[z(t1)–z(t)] ); – вектор абсолютного перемещения точки m за Dt. Учитывая это, разделим обе части равенства (1.13) на Dt и перейдем к пределу при Dt®0: . (1.14) По определению , , . Таким образом, получаем = + . (1.15) Теорема доказана. Каждый из векторов в соотношении (1.15) направлен по касательной к соответствующей траектории (рис.1.8) в момент времени t.
В кинематике сложного движения приходится решать задачи двух типов: – задача сложения движений: по заданным относительному и переносному движениям найти параметры абсолютного движения; – задача разложения движения: по заданному абсолютному движению найти параметры составляющих движений. Не входя в более подробное обсуждение этой задачи, заметим, что для ее однозначного решения необходимо задание и некоторых кинематических элементов составляющих движений. Пример 1.2. Треугольная проволочная рамка abc (рис.1.9) вращается относительно неподвижной опоры вокруг оси O1Z1 равнопеременно с угловым ускорением e=2с-2. По стороне ac, являющейся гипотенузой Dabc, скользит колечко M по закону aM=20-5cos(5pt/8)см. Определить абсолютную скорость колечка M через 4 се- кунды после начала движения, если начальная угловая скорость рамки равна w0=-12c-1; t0=0c. Решение. Из условий задачи следует, что основную (неподвижную) систему координат O1X1Y1Z1 надо связать с опорой, а подвижную систему координат OXYZ – с рамкой abc (рис.1.10). На этом рисунке показана только одна ось подвижной системы координат OX, направленная по прямой рамки (рамка показана в произвольный момент t). Абсолютное движение колечка M (движение относительно системы координат O1X1Y1Z1) складывается из движения точки M относительно рамки abc и движения рамки abc относительно системы координат O1X1Y1Z1, т.е. из двух составляющих движений. Первое составляющее дви-жение – относительное. Его уравне-ния: x=OM=20-5cos(5pt/8), y =0, z =0. Относительная траектория – прямая ac. Второе составляющее движение – переносное. Его уравнением является уравнение враща-тельного равнопеременного движения рамки: j = j0+w0t +et2/2= – 12t + t2(рад) (j0=0, w0=-12c-1). По теореме о сложении скоростей = + . Вычислим относительную и переносную скорости: ; ; w=w0+et = –12+2t; h=O1M1=OM sin30°= [20-5cos(5pt/8)]/2. Через 4 секунды после начала движения : Vr=(25p/8)sin(5p/2)=(25p/8)см/c; w=–12+2×4= –4c–1; h=(20–5cos(5pt/2)/2=10см; 4·10=40см/с. В этот момент времени вектор относительной скорости направлен по оси OX от точки O, вектор переносной скорости направлен перпендикулярно к плоскости Dabc по направлению вращения рамки. Векторы и взаимно перпендикулярны; вектор , определяемый по величине и направлению диагональю параллелограмма скоростей (рис.1.10), по модулю равен ≈41,2см/с. Пример 1.3. Диск вращается равномерно по отношению к опоре вокруг оси O1Z1 (рис.1.11), перпендикулярной плоскости чертежа, с угловой скоростью w. Точка M движется по непо-движной прямолинейной направляющей OX1 по закону O1M = a cos(w t)(a >0). Опреде-лить скорость точки M относи-тельно диска. Решение. Пусть O1X1Y1Z1 – неподвижная (основная) система координат, скрепленная с опо-рой. Абсолютное движение точки M в этой задаче – прямо-линейное. Его уравнения (в соответствии с условиями зада-чи): x1= O1M = a cos(wt), y1=0, z1=0. Движение диска по отношению к неподвижной системе координат – вращательное. Его уравнение: j=w t (по условию). В соответствии с вопросом, поставленным в задаче, движение точки M по отношению к системе O1X1Y1Z1 нужно рассматривать как сложное (составное), для которого состав-ляющими движениями являются: 1) движение точки M относительно диска; 2) движение диска по отношению к неподвижной системе координат. Значит, подвижную систему координат OXYZ следует скрепить с диском (см. рис.1.11); 1) относительное движение точки M, 2) переносное движение. Для определения относительной скорости точки M воспользуемся теоремой о сложении скоростей: . Абсолютная скорость точки M в этой задаче определяется соотношением: . Переносная скорость точки M определяется как абсолютная скорость точки m (рис.1.11) диска: . Вектор направлен по оси OX1, вектор перпенди-кулярен к направлению OM и направлен в сторону вращения диска. Направление и модуль вектора относительной скорости определяется из параллелограмма скоростей (рис.1.12). Этот рисунок соответствует острому углу j=w t. Получаем в соответствии с чертежом . Заметим, что уравнения относительного движения точки M в этой задаче имеют (как это следует из рис.1.11) вид ; ; . Уравнение относительной траектории получим, исключая время из этих соотношений: . Таким образом, относитель-ная траектория – окружность радиуса a/2 (на рис.1.12 пока-зана штриховой линией), и век-тор направлен по касатель-ной к ней в направлении отно-сительного движения точки M. Замечание. Теорема о сложе-нии скоростей приведена для простейшего случая двух составляющих движений. Но она может быть распространена и на случай сложения произвольного числа движений. Допустим, что дано: 1) движение точки M относительно системы координат OXYZ; 2) движение системы OXYZ относительно системы O1X1Y1Z1; 3) движение системы координат O1X1Y1Z1 относительно системы O2X2Y2Z2, принимаемой за основную систему. В таком случае, определяя скорость точки M относи-тельно системы координат O1X1Y1Z1 с помощью соотношения = + и принимая далее движение точки M относитель-но системы координат O1X1Y1Z1 за относительное, а движение 3) за переносное, воспользовавшись вновь теоремой о сложении скоростей для определения скорости точки M по отношению к системе O2X2Y2Z2, получим . Аналогично в общем случае сложения движений: , где – скорость точки M относительно основной системы координат OnXnYnZn (абсолютная скорость); – относительная скорость точки M по отношению к системе OXYZ; – первая переносная скорость, получаемая при движении системы координат OXYZ относительно системы O1X1Y1Z1; – вторая переносная скорость, получаемая при движении системы O1X1Y1Z1 относительно системы координат O2X2Y2Z2, и т.д. Таким образом, абсолютная скорость точки, совершаю-щей сложное движение, равна геометрической сумме скоростей в составляющих движениях. Глава 2. Мгновенная ось вращения. Мгновенно вращательное движение тела
Популярное: Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (247)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |