Методические рекомендации по изучению темы «Язык логики»

счисление язык логика информация

В данном подразделе будет отражена методическая схема введения основных понятий математической логики, необходимых при изучении базового курса информатики, а также их использования при работе с прикладным программным обеспечением и в языках программирования. Основными понятиями здесь являются: высказывание, логическая величина (константа, переменная), логические операции, логическое выражение.

В математической логике определены пять основных логических операций: конъюнкция, дизъюнкция, отрицание, импликация, эквивалентность. Первые три из них составляют полную систему операций, вследствие чего остальные операции могут быть выражены через них (нормализованы). В информатике обычно используются эти три операции.

1)Последовательность выполнения операций в логических формулах определяется старшинством операций. В порядке убывания старшинства логические операции расположены так: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция. Кроме того, на порядок операции влияют скобки, которые можно использовать в логических формулах. Например: (А и В) или (не А и В) или (не А и не В)

Математическая логика в базах данных. При изучении базового курса информатики ученики впервые встречаются с элементами математической логики в теме «Базы данных» (БД). В реляционных БД логическими величинами являются поля логического типа. Логический тип используется наряду с другими типами полей, и ученики должны научиться выделять его.

Первое понятие о логической величине можно дать как ответ на альтернативный вопрос. Например: «Имеется ли данная книга в библиотеке?» или «Поступил ли абитуриент в университет», или «На улице идет дождь?» и т. п. Ответами на такие вопросы могут быть только «да» или «нет». Синонимами являются «истина», «ложь»; «true», «false». Если поле таблицы будет принимать только такие значения, то ему назначается логический тип.

Например, реляционная база данных ФАКУЛЬТАТИВЫ содержит сведения о посещении учениками трех факультативов по геологии, цветоводству и танцам

Поля ГЕОЛОГИЯ, ЦВЕТОВОДСТВО и ТАНЦЫ будут иметь логический тип. Значение ИСТИНА для каждого поля обозначает, что ученик посещает данный факультатив, а ЛОЖЬ - не посещает.

Логические выражения используются в запросах к базе данных в качестве условий поиска. Применительно к базам данных, определение логического выражения можно перефразировать так: логическое выражение - это некоторое высказывание по поводу значений полей базы данных; это высказывание по отношению к разным записям может быть истинным или ложным.

Логические выражения разделяются на простые и сложные. В простых выражениях всегда используется лишь одно поле таблицы, и не применяются логические операции. В сложных логических выражениях используются логические операции. Простое логическое выражение представляет собой либо имя поля логического типа, либо отношение(в математике говорят «неравенство»). Отношения для числовых величин сохраняют смысл математических неравенств; при вычислении отношений для символьных величин учитывается лексикографический порядок; даты сравниваются в порядке их календарной последовательности.

Основная проблема - научить учеников формальному представлению условий поиска в виде логических выражений. Например, от фразы «найти все книги, лежащие выше пятой полки» нужно перейти к логическому выражению: ПОЛКА > 5; или условие «выбрать всех неуспевающих по физике» представить в виде: ФИЗИКА < 3; или «выбрать все дни, когда шел дождь»: ОСАДКИ = «дождь».

Особое внимание надо обратить на использование полей логического типа в условиях поиска. Обычно к ним не применяются отношения. Логическое поле само несет логическое значение: «истина» или «ложь». Например, условие «выбрать всех учеников, посещающих танцы» представится одним именем логического поля: ТАНЦЫ.

Сложные логические выражения содержат в себе логические операции. Рассматриваются три основные операции математической логики: конъюнкция (И), дизъюнкция (ИЛИ), отрицание (НЕ).

Обычно при объяснении этого вопроса учитель отталкивается от семантического смысла высказываний на русском языке, содержащих союзы И, ИЛИ, частицу НЕ. Например, высказывание: «Сегодня будет контрольная по алгебре И по физике» справедливо, если состоятся обе контрольные и ложно, если хотя бы одна не состоится. Другое высказывание: «Сегодня будет контрольная по алгебре ИЛИ по физике» будет истинным, если состоится хотя бы одна контрольная работа. И, наконец, высказывание: «Сегодня НЕ будет контрольной» истинно, если контрольная не состоится, т. е. если высказывание о том, что сегодня будет контрольная, оказывается ложным. Из подобных примеров учитель делает выводы о правилах выполнения логических операций: если А и В - логические величины, то выражение

1An В истинно только в том случае, если истинны оба операнда;

2А или В ложно только в том случае, если ложны оба операнда;

3не А меняет значение логической величины на противоположное: не истина - ложь; не ложь - истина.

Эти правила отражены в таблице истинности.

При переходе к составлению условий поиска в базах данных ученики нередко попадают в «ловушки естественного смысла». Например, рассматривается база данных БИБЛИОТЕКА со сведениями о книгах в личной библиотеке, которая имеет следующую структуру:

БИБЛИОТЕКА (НОМЕР. АВТОР, НАЗВАНИЕ, ГОД, ПОЛКА)

Требуется получить сведения обо всех книгах Толстого и Тургенева. Абсолютное большинство учеников записывают это условие следующим образом:

АВТОР = «Толстой» и АВТОР = «Тургенев»

Прозвучавший в задании союз «и» машинально переносится в логическое выражение. После этого учителю приходится объяснять, что автором книги не может быть одновременно Толстой и Тургенев. Поэтому в библиотеке нет ни одной книги, удовлетворяющей такому условию. Здесь следует применить логическую операцию ИЛИ:

АВТОР = «Толстой» или АВТОР = «Тургенев»

Тогда будет получена искомая выборка книг обоих авторов.

Операция ИЛИ объединяет в одну выборку записи, удовлетворяющие каждому из условий. Операция И работает иначе: сначала выбираются все записи, удовлетворяющие первому условию, затем из отобранных записей выбираются те, которые удовлетворяют второму условию.

Математическая логика в электронных таблицах. Следующая встреча учеников с математической логикой в базовом курсе происходит при изучении электронных таблиц. Язык электронных таблиц можно интерпретировать как своеобразный табличный язык программирования для решения вычислительных задач. Причем реализуемые на ЭТ вычислительные алгоритмы могут иметь не только линейную структуру, но и ветвящуюся и даже циклическую (итерационные циклы). Ветвления в ЭТ реализуются через условную функцию. Форма записи условной функции в значительной мере зависит от типа табличного процессора.

Если в клетку заносится условная функция, то на экране отображается результат ее вычисления, т.е. то или иное значение в зависимости от условия, заданного логическим выражением. Обычно условная функция имеет такую структуру:

If (условие, действие!, действие2).

Здесь «условие» - логическое выражение. Если условие истинно, то выполняется действие!, иначе - действие2.

Простое логическое выражение представляет собой отношение (в том же смысле, в котором это понятие используется в базах данных). Сложное логическое выражение содержит логические операции.

Особенность логических выражений для электронных таблиц заключается в том, что логические операции используются как функции: сначала записывается имя логической операции: И, ИЛИ, НЕ (AND, OR, NOT), а затем в круглых скобках перечисляются логические операнды. Например, логическое выражение AND (А > О, А < 1) соответствует математической системе неравенств: 0 < А\ < 1.

Например, требуется вычислить следующую разрывную функцию:

F ( x ) = X

если - 1 < х < 1; 1, иначе.

В ячейке таблицы соответствующая условная функция запишется так:

IF (AND (A > -1, А \ < 1), ABS ( А ), 1).

Логические формулы могут размещаться в ячейках ЭТ сами по себе, без использования условной функции. В таком случае в данной ячейке будет отражаться логическое значение ИСТИНА или ЛОЖЬ. Например, если в ячейке С6 хранится сумма баллов, набранная абитуриентом на вступительных экзаменах, а проходной балл в институт равен 14, то, поместив в ячейку D6 формулу: С6>= 14, получим в этой ячейке значение ИСТИНА, в случае если абитуриент поступил в институт, и ЛОЖЬ - если нет.

Математическая логика в программировании. В большинстве современных процедурных языков программирования высокого уровня (ЯПВУ) имеется логический тип данных, реализованы основные логические операции. Использование этих средств позволяет решать на ЭВМ сложные логические задачи, моделировать логику человеческого мышления в программных системах искусственного интеллекта. В программах решения задач с математическим содержанием логические выражения чаще всего применяются для описания систем неравенств (отношений). Решая задачи такого типа, ученики прежде всего должны проявить знания математики, а затем уже - умение переложить математические отношения на язык логики и оформить решение задачи на языке программирования.