Анализ исходных данных

Произведение RC - это постоянная времени заряда определяющая как быстро происходит изменение напряжения.

Зарядка и разрядка конденсатора до определенного напряжения занимает конечный период времени (называемый постоянной времени); это время зависит в основном от емкости конденсатора и включенного последовательно сопротивления.

Постоянная времени заряда - это время, которое требуется конденсатору, чтобы зарядиться до 63, 2% приложенного напряжения. Эта постоянная выражается как произведение RC.

Составление дифференциального уравнения для описания процессов, протекающих в данной цепи:

Для составления дифференциального уравнения необходимо составить уравнение исходя из 2 закона Кирхгофа. Законы Кирхгофа справедливы для линейных и нелинейных цепей при любом характере изменения во времени токов и напряжений.

Формулировка второго закона Кирхгофа: алгебраическая сумма падений напряжений на отдельных участках замкнутого контура, равна алгебраической сумме ЭДС в этом контуре.

Напряжение обозначается буквой u.

Запишем этот закон в аналитической форме в соответствии со схемой, представленной на рисунке 1:

uc (t) + uR (t) + uR (t) = e (t)

uc - Напряжение на конденсаторе. uR - Напряжение на резисторе.

Вывод уравнения:

Данная схема состоит из одного контура, все элементы соединены последовательно, значит, токи на каждом элементе равны между собой.

Обозначим выходное напряжение как Y(t).

Напряжение на втором резисторе равно выходному напряжению Y(t), а, так как эти резисторы одинаковые, то напряжение на первом резисторе тоже будет равняться выходному напряжению.

(t) = Y(t)

Найдем напряжение на конденсаторе (uc):

Напряжение выводится из формулы, для нахождения тока, протекающего через конденсатор.

Выразив из предыдущего уравнения напряжение uc , получим формулу для нахождения напряжения на конденсаторе:

Теперь нужно выразить ток, протекающий через конденсатор. Так как токи на каждом элементе равны, значит, ток на любом из резисторов будет равен току на конденсаторе.

а ток на резисторе выражается исходя из закона Ома:

где uR это выходное напряжение, которое мы обозначили как Y(t).

В итоге:

Подставим полученное выражение в формулу для нахождения напряжения на конденсаторе, и вынесем R за знак интеграла, так как это константа.

В результате, формула для нахождения напряжения на конденсаторе будет иметь вид:

Подставим в уравнение Кирхгофа значения , и uR (t) = Y(t).

приведем подобные слагаемые:

Далее, продифференцируем обе части уравнения.

Разделим обе части уравнения на 2, чтобы коэффициент при старшей производной отсутствовал;

В результате, получено дифференциальное уравнение для описания выходного сигнала схемы, указанной на рисунке 1: