Численные методы в математическом моделировании

С помощью математического моделирования решение научно - технической задачи сводится к решению математической задачи, являющейся ее моделью. Для решения математических задач используются следующие основные группы методов: графические, аналитические и численные.

Графические методы в ряде случаев позволяют оценить порядок искомой величины. Основная идея этих методов состоит в том, что решение находится путём геометрических построений. Например: для нахождения корней уравнения f (x) =0 строится график функции y=f (x), точки пересечения которого с осью абсцисс и будут искомыми корнями.

При использовании аналитических методов решение задачи удаётся выразить с помощью формул. В частности, если математическая задача состоит в решении простейших алгебраических уравнений, дифференциальных уравнений и т.д., то использование известных из курса математики приёмов сразу приводит к цели. К сожалению, на практике это слишком редкие случаи.

Главным инструментом для решения сложных математических задач являются численные методы, позволяющие свести решение задачи к выполнению конечного числа арифметических действий над числами; при этом результаты получаются в виде числовых значений. Многие численные методы разработаны давно, однако при вычислении вручную они могли использоваться лишь для решения не слишком трудоёмких задач.

Дифференциальные уравнения, которые можно интегрировать известными методами, встречаются редко. Поэтому особое значение приобретают приближенные методы решения дифференциальных уравнений. Эти методы бывают аналитическими, когда решения получают в виде аналитического выражения, и числовыми, если решения получают в виде таблицы численные методы.

Пусть требуется найти численное решение дифференциального уравнения:

 (1)

удовлетворяющее начальному условию y (x₀) =y₀.

Численное решение задачи состоит в построении таблицы приближенных значений y₁, y₂, … y_n решения уравнения y (x) в точках x₁, x₂, … x_n. Точки x₁, x₂, … x_{n -} узлы сетки. Используем систему равноотстоящих узлов. Величина h=x_n+1-x_n - шаг сетки (h>0).

Рассмотрим решение дифференциальных уравнений одним из известных методов, а именно методом Рунге-Кутта.

Методом Рунге-Кутта в литературе обычно называют одношаговый метод четвертого порядка, относящийся к широкому классу методов типа Рунге-Кутта. Предположим, что в точке x известно y (x).

Обозначим

где y (x+h) надо вычислить. Представим разность  в виде сумм «поправок" k_j с коэффициентом P_j:

где

 (2)

Коэффициенты P_j,  получаются при сравнении разложения y и K_i по степеням h.

В случае

₁=hf (x,y); K₂=hf (x+h/2, y+K₁/2); (3)₃=hf (x+h/2, y+K₂/2);₄=hf (x+h, y+K₃);

 (4)

При x=x₀ c помощью формул (2) - (4) находим

Аналогично получаем следующие приближения:

 (i=1,2…) (5)

где y_i=1/6 (K₁ ⁽ⁱ⁾ +2K₂ ⁽ⁱ⁾ +2K₃ ⁽ⁱ⁾ +K₄ ⁽ⁱ⁾⁾ (6)₁ ⁽ⁱ⁾ =hf (x_i,y_i);₂ ⁽ⁱ⁾ =hf (x_i+h/2,y_i+K₁ ⁽ⁱ⁾ /2); (7)₃ ⁽ⁱ⁾ =hf (x_i+h/2,y_i+K₂ ⁽ⁱ⁾ /2);₄ ⁽ⁱ⁾ =hf (x_i+h,y_i+K₃ ⁽ⁱ⁾⁾;

Для уравнения f (x,y) верна следующая оценка погрешности метода Рунге-Кутта:

|y₁-y (x₁) |< (8)

где M и N-постоянные, такие, что в области |x-x₀|<a, |y-y₀|<b выполняются неравенства.

|f (x,y) |<M N/M^k-1 (i+K<=3) (9)

|x-x₀|N<1, aM<=b, h<=a

Аналогично метод Рунге-Кутта можно использовать при решении систем дифференциальных уравнений первого порядка.

Пусть дана система двух уравнений:

^|=f (x,y,z); z^|=q (x,y,z); (10)

с начальными условиями:

 (x₀) =y₀, z (x₀) =z₀

Определяем параллельно числа по формулам:

=1/6 (K₁+2K₂+2K₃+K₄) (11)

=1/6 (l₁+2l₂+2l₃+l₄)

где

₁=hf (x_n,y_n,z_n);

K₂=hf (x_n+h/2,y_n+K₁/2,z_n+l₁/2);

K₃=hf (x_n+h/2,y_n+K₂/2,z_n+l₂/2); (12)₄=hf (x_n+h,y_n+K₃,z_n+l₃);₁=hq (x_n,y_n,z_n);₂=hq (x_n+h/2,y_n+K₁/2,z_n+l₁/2);₃=hq (x_n+h/2,y_n+K₂/2,z_n+l₂/2); (13)₄=hq (x_n+h,y_n+K₃,z_n+l₃);

находят

_n+1=y_n+ , z_n+1=z_n+ (14)

Метод Рунге-Кутта применяется также при решении обыкновенных дифференциальных уравнений и систем высших порядков. (Краскевич В.Е., Зеленский К.Х. Численные методы в инженерных исследованиях. - Киев: 1986).