ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ЭВМ

    История алгебры насчитывает не одну тысячу лет, и все открытия и достижения в этой области человеческого знания были получены только с помощью тяжелого умственного труда, не в последнюю очередь связанного с огромным объемом вычислений, которые приходилось производить, часто неоднократно, для получения желаемых результатов. Многим известным математикам, от древности и вплоть до нашего века, приходилось содержать целый штат вычислителей, которые выполняли огромный объем второстепенных вычислений, давая возможность ученому заниматься непосредственно развитием математической науки.

    С развитием математических представлений об окружающем мире многие расчеты и вычисления многократно усложнились, так что целые коллективы вычислителей тратили иногда не один месяц на выполнение каких-либо расчетов. К тому же с усложнением вычислений неизбежно увеличивалось количество непроизвольно допущенных ошибок.

    Счастливым выходом из создавшегося положения явилось изобретение в 1943 г. первой электронно-вычислительной машины. Существовавшие до этого механические вычислители, которые могли выполнять только четыре арифметические операции, не шли ни в какое сравнение с этой, пусть еще не совершенной, вычислительной техникой. Сразу же после прохождения лабораторных испытаний электронно-вычислительные машины (ЭВМ), были применены для научных расчетов в квантовой и ядерной физике. В дальнейшем, по мере развития электроники, каждый научно-исследовательский институт обзаводился собственной ЭВМ. Уже в самом начале своего применения они обеспечивали неслыханную по тем временам скорость вычислений - несколько тысяч операций в секунду. Это позволило многократно увеличить скорость и точность математических вычислений и подняло труд ученых на качественно новый уровень.

    Современные ЭВМ оставили далеко позади те первые, построенные на реле и лампах, машины; в миллион раз производительнее, они позволяют выполнять невероятно сложные расчеты в фантастически короткие сроки: то, над чем сотни вычислителей работали бы несколько месяцев, эти машины способны вычислить за несколько минут.

    Учитывая вышесказанное, необыкновенно логичным кажется применение компьютеров для исследования свойств функций. Что и было сделано несколько десятилетий назад. Естественно, для успешного исследования свойств функций потребовался мощный математический аппарат. Наиболее успешным оказался перенос на компьютерную основу методов Лагранжа, Ньютона, Котеса, Симпсона и многих других. За считанные годы компьютер научили строить графики функций, дифференцировать и интегрировать сами функции, кроме этого интерполировать и экстраполировать функции, решать линейные и дифференциальные уравнения и их системы, находить приближающие функции и множество других, не менее важных вещей.

    Взять к примеру интерполяционный многочлен Лагранжа. Очень часто на практике имеется какая-либо функциональная последовательность не выраженная в аналитической форме, либо вообще выраженная только графиком или набором пар значений. А требуется получить аналитическое выражение описывающее данный график или таблицу. Имея несколько пар значений функции - узлов интерполирования, задача найти интерполирующую функцию представляется длительной и трудоемкой, имея же несколько сотен таких узлов - практически невыполнимой. Компьютер же справляется с этой задачей за считанные секунды.

    Пусть известные значения некоторой функции f образуют следующую таблицу:

                         ¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾

                          х          х0      х1     ...     х n

                         ¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾

                          f (х)        у0      у1     ...     у n

                            ¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾

    При этом требуется получить значение функции f для такого значения аргумента х, которое входит в отрезок [ х0 ; х n ], но не совпадает ни с одним из значений х i ( i = 0, 1, ..., n ).

    Очевидный прием решения этой задачи - вычислить значение f (х), воспользовавшись аналитическим выражением функции f. Этот прием однако, можно применить лишь в случае, когда аналитическое выражение f пригодно для вычислений. Более того, как уже упоминалось выше, часто аналитическое выражение функции f вовсе не известно. В этих случаях как раз и применяется построение по исходной таблице приближающей функции F, которая в некотором смысле близка к функции f и аналитическим выражением которой можно воспользоваться для вычислений, считая приближенно, что

f (x) = F (x).                                         (1)

    Классический подход к решению задачи построения приближающей функции основывается на требовании строгого совпадения значений f (x) и F (x) в точках х_i ( i = 0, 1, 2, ..., n), т.е.

F (x0) = y0, F (x1) = y1, ..., F (x n) = y n.                      (2)

    Будем искать интерполирующую функцию F (x) в виде многочлена степени n:

Pn (x) = a0xⁿ + a1x^n-1 + ... +a n-1x + a n.                      (3)

Этот многочлен имеет n+1 коэффициент. Естественно предполагать, что n+1 условия (2), наложенные на многочлен, позволят однозначно определить его коэффициенты. Действительно, требуя для P_n (x) выполнения условий (2), получаем систему n+1 уравнений с n+1 неизвестными:

                                                       _n

å a_k x_i ^{n - k} = y_i (i = 0, 1, ..., n).                            (4)

                                                     k=0

    Решая эту систему относительно неизвестных а₁, а₂, ..., а_n, мы и получим аналитическое выражение полинома (3). Система (4) всегда имеет единственное решение, так как ее определитель, известный как определитель Вандермонда, отличен от нуля. Отсюда следует, что интерполяционный многочлен P_n(x) для функции f, заданной таблично, существует и единственен.

    Чтобы написать программу, реализующую этот алгоритм, необходимо затратить от нескольких часов до нескольких дней. А потом, она поможет сэкономить многие и многие месяцы, ушедшие бы на выполнения однотипных арифметических операций для вычисления интерполяционных полиномов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

    Область применения электронно-вычислительных машин в наше время необычайно широка, и продолжает расширяться. Она не ограничивается только лишь исследованием функций или математических объектов произвольной природы вообще. Сфера применения компьютерной техники в науке гораздо шире и начинает охватывать те области знания, к которых раньше даже и не мыслилась. Процесс этот необратим, и скоро компьютер станет главным, но далеко не единственным инструментом ученого в его научной работе. Однако, не верно было бы думать, что с возрастанием роли компьютеров в научном познании роль человека будет неуклонно снижаться до уровня обслуживающего персонала. Человек всегда был и будет ведущим в связке человек-компьютер. Научный поиск - процесс творческий, а компьютеры этого не умеют, и научаться еще очень не скоро.

Список использованной литературы:

1. И. П. Натансон, Теория функций вещественной переменной,

Москва, Наука, 1974 г.

2. В. С. Крамор, Повторяем и систематизируем школьный курс

алгебры и начал анализа, Москва, Просвещение, 1990 г.

3. К. А. Рыбников, Возникновение и развитие математической

науки, Москва, Просвещение, 1987 г.

4. Н. И. Борисов, Как обучать математике, Москва, Просвещение,

1979 г.

5. Г. И. Глейзер, История математики в школе, IX-X классы,

Москва, Просвещение, 1983 г.

6. Л. С. Понтрягин, Математический анализ для школьников,

Москва, Наука, 1983 г.

7. Ю. С. Богданов, Н. В. Пыжкова, Л. П. Черенкова, Начала

анализа функций двух переменных в наглядном изложении,

Минск, Вышэйшая школа, 1987 г.

8. С.Г. Крейн, В. Н. Ушаков, Математический анализ элементарных

функций, Москва, Наука, 1966 г.

9. О. Г. Омельяновский, Диалектика в науках о неживой природе,

Москва, Мысль, 1964 г.