ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

 

91. -100. Построить график функции y = f(x) посредством преобразования графика некоторой простейшей элементарной функции.

91. f(x) = (3x+2) / (2x+3).

92. f(x) = 3cos(2x – 5).

________________

93. f(x) =Ö(4x2+7x –2) / (4x-1).

94. f(x) = 9x2 – 6x + 3.

95. f(x) = ln(x2 – 6x + 9).

96. f(x) = - 2sin(3x + 4).

97. f(x) =2x3 – 18x2 + 54x – 53.

98. f(x) =ln((x+1) - 2 / e2).

99. f(x) =

f(x) = (3x2 – 5x + 2) /(2x2 + x – 3).

101. -110. Haйти пределы функций, не пользуясь средствами дифференциального исчисления.

_________ _

101. а) lim (Ö4x2 – x + 3 - 2x); б) lim (Öx – 1) – 1sin(1 – x);

x ® µ x ®1

в) lim (1 + x + x2) 1/x; г) lim (5x - 3x) /(7x – 4x).

x ® 0 x ® 0

102. а) lim (x2+2x–3) /(3x2+14x+15); б) lim x sin((2x + 1) / (x2+4x3));

x® - 3 x ® µ

в) lim (1 – 2sin2x) 1/xsinx; г) lim x – 2 ln(cos2x).

x ® 0 x ® 0

______ _______ _____

103. а) lim (3Ö8x4 + 1 + Öx + 3) / (3Öx + 2(1 + Öx2 + 9));

x ® µ

б) lim sin2(x – 1) / (4x2 + 3x +2 ); в) lim ;

x ® µ x®¥

г) lim (e2x – 3ex + 2) /x.

x ® 0

__________ ______

104. а) lim (Öx2 + x + 1 - Öx2 - x); б) lim (1 – cos2x) /(x sinx);

x ® µ x ® 0

в) lim((2x2+3x+4) /(2x2+x+1)) –x/2; г) lim [ln(1 + 3lnx) / ln(1 + 4lnx)].

x ® µ x ®1

105. а) lim (3x5 + 2x2 + 1) /(1 + 4x3 – x5); б) lim x – 2sin2(x2 + 2x);

x® µ x ® 0

в) lim ; г) lim (esinx – ex) /x.

x ® 0 x ® 0

_______________

106. а) lim (Öx2 + 4x - Öx2 + 6x + 1); б) lim (cos 5x) /(sin 2x);

x ® µ x ® p/2

в) lim ((x2 + 7x + 8) /(x2 + 14x + 1)) – x/3; г) lim (e – ecosx ) /x.

x ® µ x ® 0

_____

107. а) lim (x2 - 5x + 6) /(x3 - 8x + 8); б) lim (1 - Ö1 – x) – 1 sinx;

x ® 2 x ® 0

_____

в) lim (x + Ö1 + x) 3/x; г) lim x – 1 ln(cosx + sinx).

x ® 0 x ® 0

108. а) lim (3x4 – 2x2 + 1) /(2x4 + 3x2 – 2);

x ® µ

б) lim (sinx – sin3x) /(sin6x – sin7x);

x ® 0

в) lim ; г) lim (ln cosx) /(cos3x – cosx).

x ® 0x ® 0

109. а) lim ; б) lim (cos8x – cos2x) /(cos6x – cos4x);

x®5/2x ® 0

______

в) lim (9 –2x) 1/(4 – x); г) lim ln(x + Öx2 + 1) /x.

x ® 4x ® 0

____________

110. а) lim (x - Öx + 2) /(Ö4x + 1 - 3); б) lim (sin2x– sinx) /(cos4x – cos2x);

x ® 2 x ® 0

в) lim ((2x + 1) /(3x +1)) 1/x; г) lim (ln(3 – 2tgx)) /cos2x.

x®0 x ® p/4

111. -120. Исследовать на непрерывность функцию y = f(x), найти точки разрыва и определить их род. Построить схематический график функции.

111.  112.  113.

114. 115.

æ (2x2 + 3) /5приxÎ( - ¥, 1] ;

116.  í 6 – 5xприx Î (1, 3);

è x – 3приx Î [3, +¥).

117.  arctg .118. x ctgx.

119. .120 .

 

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ И ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ

 

121. -130. Найти производную функции одной переменной, исходя из определения производной.

y = tg2x.122. y = ln(3x + 1).123. y = cos(x2).

y = sin(x2 + 2x).125. y = ctg(3x - 2).126. y = Ö 2x2 + 1.

127. y = Ö 2 – cos3x.128. y = Ö 2 + sin2x.129. y = e2x.

y = (x + 1) /(x – 1).

131. -140. Найти производные первого порядка данных функций, используя правила вычисления производных.

1) y = Ö4x4 + tgx; 2) y = x1/2 / sinx;

3) y = ctg5x / x3; 4) y = arctg(ex) + tg(arccos(ex)).

1) y = ln(tg(3x + 2)); 2) y = Ö 1 – x2 arcsinx;

3) y = xtgx; 4) y = (x2 – 1) /(x2 + 1).

1) y = arccos(x2) + arcctg(x2); 2) xy = cos(x – y);

3) y = log2(2x + 1); 4) y = Ö1 – x2 / Ö1 + x2.

1) y = (2 - 5x) / Ö2 – 5x + x2; 2) y = ex – y;

3) y = 2 lnx – x; 4) y = sin2 3t, x = cos4 3t.

1) y = (arcsinx) 1 – x; 2) y = cos2 x + tg2x;

3) x3 + y3 – 3xy = 3; 4) x = t – sin2t, y = 1 – cos 2t.

1) y = sin2x/(1 + sin2x); 2) y = 3arctgx + (arctgx) 3,

3) y = (1 + x2) 1 + 2x; 4) y = tg3t, x = cos2 3t.

1) y = 3 –3x + (3x) –3; 2) y = (x – 1) log5(x2 – 1),

3) y = (x2 + 1) x; 4) y = tg(x2/y2).

1) y = ln(lg(log2x)); 2) y = (x2 + x + 1) /(x2 + 1);

3) y = (x + 1) x; 4) ex + y = x – y.

1) y = (x2 + 1) 3 – (x2 – 1) 3; 2) y = (ln5x) /(x4 – 1);

3) y = (tgx) ctgx; 4) x = t ctg(t2), y = t cos2(t2).

1) y = ln(x + Öx2 + 1); 2) y = x –sin2x;

3) y = 2/(x –1) + 1/(x2 – 1); 4) sin(x + y) + cos(x2 + y2) = 1.

141. -160. Построить график функции, используя общую схему исследования функции.

141. y = (x2 + 2x + 2) /(2 + x2) .142. y = (4 + x2) /(9 – x2).

143. y = (2 + 3x2) /(1 + x2).144. y = (x3 + 2x2 + 2) /(x2 + 1).

145. y = (x2 + 3x + 5) /(x – 1).146. y = (3x3 – 2) /x.

147. y = (2x2 +3x + 1) /(x – 2).148. y = x3/(x3 + 1).

149. y = (3 – 9x2) /(1 – 9x2).150. y = (x3 + 8) /(x3 – 8).

151. y = x e 2x – 1.152. y = ln(x2 – 9).

153. y = (1 + x2) exp(-x2).154. y = lg(4 + x2).

155. y = exp(2/(1 – x)) .156. y = ln(16 – x2).

157. y = x2 + 1 + 2lnx.158. y = exp(1 + 4x – 2x2).

159. y = (2 + x) exp( - 4 - 4x - x2)).160. y = (1 – x) - 0.5 lg(1 – x).

161. -170. Составить уравнение касательной и нормали:

к графику кривой y = f(x) в точке, абсцисса которой равна x0;

к графику кривой x = x(t), y = y(t) в точке, для которой параметр t равен t0.

Построить графики кривых, касательных и нормалей. Для каждой кривой найти кривизну в указанных точках.

161.1) y = -Ö(9 – x2) /3, x0 = - 3/2; 2) x = 3cost, y = Ö 3 sint, t0 = - p/3.

162.1) y = Ö4 – 8x2, x0 = - 1/2; 2) x = -1/Ö2 cost, y = -2 sint, t0 = 5p/4.

163.1) y = Ö16 – 4x2, x0 = 1; 2) x = -2 sint, y = - 4 cost, t0 = 5p/6.

164.1) y = -Ö8 – 3x2, x0 = -Ö 2; 2) x = 2Ö 2/3 cost, y = 2Ö 2 sint, t0 = - p/6.

165.1) y = -Ö25 – 5x2, x0 = -0.5Ö 5; 2) x = -Ö 5 sint, y = 5 cost, t0 = 7p/6.

166.1) y = Ö(4 – x2) /2, x0 = Ö 2; 2) x = 2sint, y = Ö 2 cost, t0 = -p/4.

167.1) y = Ö8 – 4x2, x0 = -1; 2) x = Ö 2 cost, y = 2Ö 2 sint, t0 = p/4

168.1) y = Ö(7 – x2) /2, x0 = -0.5Ö 7; 2) x = Ö 7 cost, y = Ö7/2 sint, t0 = p/3.

169.1) y = -Ö2(4 – x2), x0 = -1; 2) x = 2 sint, y = 2Ö 2 cost, t0 = 5p/6.

170.1) y = -Ö4 – 8x2, x0 = -1/2; 2) x = 1/Ö 2 cost, y = 2 sint, t0 = 5p/4.