Параметрический дисперсионный анализ
Дисперсионный анализ предназначен для проверки наличия зависимости нормально распределенной результативной случайной величины Y от нескольких факторов (факторных величин), а именно для выявления причинно-следственной связи между вариацией факторов и вариацией результативных признаков. Суть дисперсионного анализа состоит в разложении дисперсии признака на составляющие, обусловленные влиянием конкретных факторов и проверке гипотез о значимости их влияния. Модели дисперсионного анализа будем классифицировать: 1) в зависимости от числа факторов - на однофакторные, двухфакторные и т.д.; 2) по природе факторов - на детерминированные (М1), случайные (М2) и смешанные, в зависимости от того какими являются уровни факторов. Однофакторный анализ Пусть требуется проверить наличие влияния на результативный признак одного контролируемого фактора А, имеющего m уровней , . Наблюдаемые значения результативного признака Y на каждом из фиксированных уровней обозначим , , где - число объектов наблюдения. Любое наблюдение можно представить в виде
, , ,
где а - генеральная средняя результативного признака; - влияние (эффект) фактора на j-ом уровне; - случайные величины (остатки), отражающие влияние на Y всех неконтролируемых факторов. Относительно будем предполагать, что они распределены нормально и удовлетворяют следующим условиям: ; или ; - остаточная дисперсия. В зависимости от изучаемой модели относительно предполагаем: модель М1 - - фиксированные величины, такие что и основная гипотеза H 0: , то есть нет влияния фактора А на Y; модель М2 - - случайные величины, удовлетворяющие условиям - ; ; ; - факторная дисперсия. Основная гипотеза H 0: : нет влияния фактора А на Y . Для проверки основной гипотезы дисперсионного анализа, утверждающей, что нет влияние фактора А (уровней фактора А) на изменение результативного признака, вычислим следующие статистики
- групповые средние (средние уровней ); - общая средняя результативного признака,
где . Определим две дисперсии: межгрупповую (дисперсию групповых средних) или факторную, обусловленную влиянием изучаемого фактора и внутригрупповую (остаточную), величина которой рассматривается как случайная. Необходимые суммы квадратов отклонений обозначим:
- факторная сумма квадратов отклонений; - остаточная сумма квадратов отклонений; - общая сумма квадратов отклонений. Легко проверить
Несмещенные оценки общей, факторной и остаточной дисперсий
; ; .
Если влияние фактора отсутствует, то и можно рассматривать как независимые оценки дисперсии всей совокупности. Наоборот, если фактор оказывает существенное влияние на результативный признак, то отношение : будет расти и превзойдет некоторый критический предел. Таким образом, первоначальную гипотезу Н0 можно заменить такой Н0: = . Для проверки нулевой гипотезы рассмотрим статистику:
,
распределенную, очевидно, по закону Фишера-Снедекора со и степенями свободы. Если , то гипотеза не отвергается, то есть влияние фактора А на результативный признак не доказано. Если , то Н0 отвергается и с вероятностью ошибки можно утверждать: влияние фактора А на результативный признак существенно. Если влияние фактора доказано, то можно проверить гипотезы: 1) Н0: - о равенстве двух средних выбранных уровней с помощью статистики
,
распределенной по закону Фишера-Снедекора с и 2) При проверке гипотезы Н0: а=а0 используется: в случае модели М1 статистика , имеющая F - распределение с и ; в случае модели М2 и статистика , имеющая F - распределение с и . Несмещенную точечную оценку для факторной дисперсии, в случае отклонения нулевой гипотезы, можно уточнить . Интервальная оценка для с надежностью
.
Популярное: Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (145)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |