Последовательное интегрирование
Снова рассмотрим интеграл по K-мерной области, разбитой сеткой на ячейки (рис. 2). Его можно вычислить последовательным интегрированием: Каждый однократный интеграл легко вычисляется на данной сетке по квадратурным формулам типа: Последовательное интегрирование по всем направлениям приводит к кубатурным формулам, которые являются прямым произведением одномерных квадратурных формул: (11) Например, при K=2, если по каждому направлению выбрана обобщённая формула трапеций, а сетка равномерная, то веса кубатурной формулы равны соответственно для внутренних, граничных и угловых узлов сетки. Легко показать, что для дважды непрерывно дифференцируемых функций эта формула имеет второй порядок точности, и к ней применим метод Рунге–Ромберга. Вообще говоря, для разных направлений можно использовать квадратурные формулы разных порядков точности . Тогда главный член погрешности имеет вид:
Желательно для всех направлений использовать квадратурные формулы одинакового порядка точности. Можно подобрать веса и положение линий сетки так, чтобы одномерная квадратурная формула была точна для многочлена максимальной степени, т.е. была бы формулой Гаусса, тогда, для случая K=2:
(12)
где –нули многочленов Лежандра и соответствующие веса. Эти формулы рассчитаны на функции высокой гладкости и дают для них большую экономию в числе узлов по сравнению с более простыми формулами.
Произвольная область. Метод последовательного интегрирования можно применять к области произвольной формы, например, с криволинейной границей. Рассмотрим этот случай при K=2. Для этого проведём через область хорды, параллельные оси , и на них введём узлы, расположенные на каждой хорде так, как нам требуется (рис. 4). Представим интеграл в виде: Сначала вычислим интеграл по вдоль каждой хорды по какой-нибудь одномерной квадратурной формуле, используя введённые узлы. Затем вычислим интеграл по ; здесь узлами будут служить проекции хорд на ось ординат. При вычислении интеграла по имеется одна тонкость. Если область ограничена гладкой кривой, то при длина хорды стремится к нулю не линейно, а как ; значит, вблизи этой точки . То же будет при . Поэтому интегрировать непосредственно по формулам высокого порядка точности бессмысленно. Целесообразно выделить из основную особенность в виде веса , которому соответствуют ортогональные многочлены Чебышева второго рода. Тогда второе интегрирование выполняется по формулам Гаусса–Кристоффеля: (13) где , а и –нули и веса многочленов Чебышева второго рода. Чтобы можно было применять эту формулу, надо ординаты хорд на рис. 4 заранее выбрать в соответствии с узлами (13). Если это не было сделано, то придётся ограничиться интегрированием по обобщённой формуле трапеций, причём её эффективный порядок точности в этом случае будет ниже второго.
Популярное: Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (311)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |