Измерений по интервалам группирования

Строительный факультет

Кафедра строительных конструкций

 

Семестровая работа

 

по дисциплине «Метрология, стандартизация,

сертификация и аккредитация»

на тему: Статическая обработка результатов наблюдения

 

(пример выполнения работы)

 

Выполнил:

ст. гр. ПГС-0

 

__________________

Проверил:

преподаватель кафедры СК

__________________

 

 

Алчевск 20 __ г.

Статистическая обработка результатов

наблюдения.

Проверка однородного ряда измерений на воспроизводимость.

1.1 Определяем среднее значение ряда принятых измерений по однородным данным

 

N=∑N_i/n=42+43+46+46/4=44.25

 

1.2 Вычисляем дисперсию каждого номера измерений по вариантам

 

Д_i=1/n∑(N_i-N)²=((42-44.25)²+(43-44.25)²+2(46-44.25)²)/4=3.18

 

Результаты расчёта среднего и дисперсии по всем номерам измерений приведены

в таблице 1.

 

Таблица 1.1. Результаты расчёта среднего и дисперсии выборки

Однородных измерений

Номер измерения	Номер варианта измерений	Среднее значение измерений	Дисперсия Дi
					44.25	3.1875
					46.25	6.1875
						2.5
					37.5	21.25
						45.5
					49.75	16.1875

 

 

1.3 Проверяем воспроизводимость выборки однородных измерений по критерию

Кохрена.

Расчётное значение критерия Кохрена определяется по формуле:

 

К_кр = Д_макс/∑Д_i=45.5/94.8125=0.48

 

Предельное значение критерия Кохрена принимается по таблице при m=6 и g=4-1=3, К_ст=0.5321

К_кр=0.48<К_ст=0.5321

Результаты измерений воспроизводимы.

 

 

Обработка однородного ряда измерений

В результате проведённого эксперимента нагружения конструкции в пределах упругих деформаций были получены следующие результаты:

 

Таблица 2.1. Результаты измерений

Номер эксперимента
Среднее	42.6	86.4		178.2	220.8	268.6			398.8

 

Среднее значение по вариантам определяется как сумма вариантов однородных измерений отнесённых к количеству вариантов,т.е.

 

Х=∑Х_i/n=45+43+44+40+41/5=42.6

 

2.1. Определяем значение однородных измерений для чего от каждого последующего номера измерения вычитаем значение предыдущего измерения без изменения. Результаты вычислений заносим в таблицу 3.

 

Таблица 2.2. Значение однородных измерений.

 

Номер элемента	Номер измерения

 

Обработка однородного ряда данных наблюдений.

2.3.Группируем данные однородного ряда из таблицы 2 в монотонный ряд, т.е. от меньшего числа к большему, данные заносим в таблицу 4.

 

 

Таблица 2.3.. Оценка однородного ряда измерений

№ варианта	Зна-че-ния варианта аi	Кол-во одно-род-ных значений ni	Произве-дение аi ni	∆i	(∆i)2	(∆i)2 ni	(∆i)3	(∆i)3ni	(∆i)4	(∆i)4 ni
				-12.8	163.84	163.84	-2097.15	-2097.15	26843.5	26843.5
				-10.8	116.64	116.64	-1257.71	-1259.71	13604.9	13604.9
				-7.8	60.84	60.84	-474.55	-474.55	3701.5	3701.5
				-6.8	46.24	46.24	-314.43	-314.43	2138.1	2138.1
				-4.8	23.04	46.08	-140.59	-221.18	530.8	1061.7
				-3.8	14.44	43.32	-54.87	-164.62	208.5	625.5
				-2.8	7.84	23.52	-21.95	-65.85	61.5	184.4
				-1.8	3.24	22.68	-5.83	-40.82	10.5	73.5
				-0.8	0.64	3.2	-0.512	-2.56	0.41	2.0
				0.2	0.04	0.24	0.008	0.048	0.0016	0.01
				1.2	1.44	8.64	1.73	10.37	2.07	12.4
				2.2	4.84	24.2	10.65	53.24	23.4	117.1
				3.2	10.24	30.72	32.77	98.30	104.8	314.6
				5.2	27.04	54.08	140.61	281.22	731.2	1462.3
				9.2	84.64	84.64	970.3	970.3	9605.9	9605.9
				10.2	104.04	104.04	1061.2	1061.2	10824.3	10824.3
				11.2	125.44	125.44	1404.93	1404.93	15735.2	15735.2
				14.2	201.64	201.64	2863.29	2863.29	40658.7	40658.7

50 2240 1160 2102.03 126960

 

а_мин = 32; а_макс = 59; ∑ n_i=50

 

2.4 Определяем среднее значение однородного ряда данных

 

а=∑ а_i n_i/∑ n_i=2240/50=44.8

 

Определяем отклонение каждого значения от среднего

 

∆_i=а_i-а=32-44.8=-12.8

 

Квадрат отклонения ( ∆_i)²=∆_i∆_i=(-12.8)²=163.84

 

Определяем сумму квадратов отклонения

 

∑( ∆_i)² n_i=163.84+116.64+…+125.44+201.64=1173.37

 

2.5. Определяем среднее квадратическое отклонение выборки однородного ряда

 

G_a=√∑(∆_i)² n_i/∑ n_i=√1160/50=4.8166

 

2.6. Проверяем однородный ряд измерений на наличие грубой ошибки измерения

 

2.6.1 Наличие грубой ошибки по правилу «3 G_а»

 

(а_макс)=а+3 G_а=44.8+3*4.8166=59.25>а_макс=59

(а_мин)= а-3 G_а=44.8-3*4.8166=30.35<а_мин=32

 

По данному критерию все данные однородного ряда входят выбору данных.

2.6.2. Наличие грубой ошибки по критерию β

 

 

β_амин=а-а_мин/ G_а=44.8-32/4.8166=2.65<( β)=2.99

β_амакс=а_макс-а/ G_а=59-44.8/4.8166=2.95<( β)=2.99

 

Предельное значение определяется по таблице(β)=2.99 в зависимости

от n=50 и Р=0.95, и по этому критерию в однородном ряде измерений

грубые ошибки отсутствуют.

2.7. Определяем коэффициент вариации измерений

 

V_a= G_а/a*100=4.8166/44.8=10.75%

 

2.8. Ошибка среднего однородного ряда результатов измерения:

 

S_a= G_а/√n=4.816/√50=0.681

 

2.9. Точность измерения

 

Т_а=±S/a*100=±0.681/44.8*100=1.52%

 

2.10. Предельно допустимая абсолютная ошибка однородного ряда измерения

 

∆_а=±t_αS_а=±2.01*0.681=±1.369

 

где t_α определяется по таблице в зависимости от числа данных в однородном

ряде и вероятности с которой определяется абсолютная ошибка, т. е. при n=50 и P=0.95, t_α=2.01

 

Предельно допустимая относительная ошибка однородного ряда измерения

 

∆_а/а*100=1.369/44.8*100=3.05%

 

2.11. Доверительный интервал однородного интервала измерений

 

А=а±∆_а=44.8±1.369

или

 

А=а±∆_а/a*100=44.8±1.369/44.8*100=44.8±3.05%

 

2.12. Определяем полигон рассеивания отклонений среди значений однородного ряда измерений исходя из отклонений относительно среднего значения однородного ряда измерений, которые колеблется в пределах от -12.8 до 14.2,см. табл. 5.

Количество интервалов определим по формуле

 

m=1+3.322log∑n_i=1+3.322log50=6.64

 

Принимаем 7 интервалов разбиения отклонений от среднего однородного ряда данных измерений. Величина интервала составит

 

d=(∆_макс+∆_мин)/m=(14.2-(-12.8))/7=3.86

 

Расчёт распределения отклонений представлен в табл. 5.

Графическая интерпретация отклонений от среднего однородного ряда данных измерения приведена на рис.1.

Таблица 2.4. Распределение отклонений от среднего однородного ряда

измерений по интервалам группирования.

№ п/п	Интервалы группирования однородных данных	Среднее значение интервала	Количество данных в интервале	Количество данных в интервале, в %
	От (-12.8) до (-8.94)	-10.87
	От (-8.94) до (-5.08)	-7.01
	От (-5.08) до (-1.22)	-3.15
	От (-1.22) до 2.64	0.71
	От 2.64 до 6.5	4.57
	От 6.5 до 10.36	8.43
	От 10.36 до 14.2	12.28

∑=4.69 ∑= 50 ∑=100

n_i,%

 

 

Рис.2.1. Гистограмма распределения отклонений от среднего от среднего

однородного ряда измерений

 

2.13. Определяем принадлежность выбора данных однородного ряда измерений

нормальному закону распределения.

 

2.13.1 Определяем коэффициент ассиметрии и сравниваем его с предельно допустимым значением:

 

А=(1/∑n_i*G_a³)*∑(∆_i³*n_i)=(1/50*4.8166³)*2102.03=0.376

 

Предельно допустимое значение коэффициента ассиметрии:

 

S_a²=6(n-1)/(n+1)(n+3)=6(50-1)/(50+1)(50+3)=0.108

 

Сравниваем экспериментальные значения ассиметрии с предельно допустимыми значениями.

׀А׀ ≤ 3√S_a²; 0.376≤ 3√0.108=0.986

 

2.13.2 Определяем коэффициент эксцесса:

 

Е=(1/∑n_iG_a⁴) ∑(∆_i⁴n_i)-3=(1/50*4.8166⁴)126965.6-3=1.7179

 

Предельно допустимое значение коэффициента эксцесса

 

S²_э=(24n(n-2)(n-3))/((n+1)²(n+3)(n+5)=(24*50*48*47)/51²*53*55)=0.357

 

Сравниваем значения экспериментальных значений эксцесса с предельно допустимым.

׀Е׀ ≤5√S_э² 1.6121≤5√0.357=2.987

 

Данный ряд однородных измерений соответствует нормальному закону распределения.

 

2.14. Построение графика экспериментального полигона распределения данных однородного ряда измерений

 

2.15. Определение количества интервалов разбиения данных однородного ряда

измерений

 

m=1+3.322 log∑n_i=1+3.322 log50=6.64

или

m=4/Х log∑n_i/10=4/0.4656 log50/10==6,

где Х=1/√Е+3=1/√1.6121+3=0.4656

 

Принимаем 7 интервалов группирования данных.

2.16. Определяем ширину интервалов группирования ряда однородных измерений

 

d=(a_max-a_min)/m=(59-32)/7=3.86

 

Величину экспериментальной ординаты определяем по формуле:

 

y_i^э=n_i/∑n_id*100=2/50*3.86*100=1.036%

 

Величину теоретической ординаты, соответствующая нормальному закону распределения определяем по формуле:

 

-(a_i-a)²/2G_a²

y_i^т=(1/G_a√2n)e

 

-(33.93-44.8)²/2*4.8166²

y_i^т=(1/4.8166√2*3.1416)2.718 =0.6489

 

 

Таблица 6. Распределение данных однородного ряда измерений по интервалам.

 

№ интервала	Интервалы группирования данных	Среднее значение интервала, аi	Количество данных в интервале,ni	Значение экспериментального распределения	Значение теоретического распределения
	32-35.86	33.93		1.036	0.6489
	35.86-39.72	37.79		1.036	2.89
	39.72-43.58	41.65		7.772	6.67
	43.58-47.44	45.51		11.399	8.15
	47.44-51.3	29.37		2.59	6.61
	51.3-55.16	53.23		1.036	1.81
	55.16-59.0	57.08		1.036	0.33

 

Графическая интерполяция экспериментальных и теоретических данных криволинейная линия однородного ряда измерений представлена на рис.2.2

 

 

Рис. 2.2. Кривая распределения данных однородного ряда измерений

1- Экспериментальная кривая распределения

2- Теоретическая кривая распределения.