Алгоритмы и программы определения массовых характеристик многоступенчатых РН

Алгоритм определения массовых характеристик трехступенчатой РН из условий обеспечения минимальной стартовой массы

Рассмотрим задачу определения массовых характеристик трехступенчатой ракета, обеспечивающей доставку полезного груза массы m_pg на опорную круговую орбиту высотой h из условия обеспечения минимальной стартовой массы. По заданным m_pg и h можно приближенно определить потребную характеристическую скорость Vx. Для проведения расчетов массовых характеристик обычно ориентируются либо на существующие, либо на разрабатываемые перспективные двигательные установки. Во всяком случае будем считать скорости u1,u2,u3 истечения газовых струй из сопел двигателей заданными. Для специалистов не является секретом уровень конструктивного совершенства блоков ракет (коэффициенты S). Этот показатель со временем улучшается, но не так быстро. Считаем величины S для блоков также известными.

Из выражения ( 5 ) следует, что достигается при

или с учетом ( 6 )

При s1, s2, s3 – const задача принимает вид

(7)

Рассмотрим случай, когда z1 задано (первая ступень в составе РН заимствуется, т.е. не разрабатывается вновь). Тогда ( 7 ) перепишется в виде

(8)

Минимум функции (8) будем искать при ограничении

Отсюда

или

где , a = u3/u2 , x = z3 .

С учетом принятого (8) примет вид:

, x>1

Оптимальное значение для x = z3 находим из решения уравнения

или

.

Пример

В качестве примера рассчитаем массовые характеристики и стартовую массу ракеты типа “Сатурн” с известными параметрами первой ступени.

Исходные данные:

Масса полезного груза и опорная орбита.

Скорости газовых струй.

Коэффициенты конструктивного совершенства блоков.

Примем:

Вычислим характеристическую скорость

и примем z1 = 3,45.

Вычислим

Построим график функции f(x):

(9)

Рис.5 График функции f(x)

Найдем решение уравнения ( 9 ) с помощью встроенной функции root()