Результат измерений и погрешности результа измерения

2015-11-12

2929

Обсуждений (0)

5.00 из 5.00 4 оценки

Лекция 4

4.1 Результат измерений

4.2 Классификация погрешностей измерений

1. Результат измерений и показатели качества измерений

Результат измерений – значение величины, полученное путем ее измерений. Результат измерений бывает неисправленный, исправленный и усредненный.

Неисправленный результат измерений – значение ФВ, полученное при измерении до введения в него поправок, учитывающих систематическую погрешность.

Исправленный результат измерений - значение ФВ, полученное при измерении и уточненное введением в него необходимых поправок на действие систематических погрешностей.

Усредненный результат измерений – значение ФВ как среднее арифметическое значение кратного числа измерений.

Среднее взвешенное значение величины – среднее значение величины из ряда неравноточных измерений, определенное с учетом веса каждого единичного измерения.

Вес результата измерений – положительное число (р) служащее оценкой доверия к тому или иному отдельному результату измерения, входящему в ряд неравноточных измерений.

Обычно результату с большей погрешностью приписывают вес, равный 1 , а остальные веса находят по отношению к нему.

где ai – значение величины, полученное из i-го измерений, pi – вес i-го измерения входящего в ряд.

Характеристики качества результата измерений

Точность измерений – одна из характеристик качества измерений, отражающая близость к нулю погрешности результата измерений. Точность измерения является величиной качественной. Высокая точность измерения соответствует малым погрешностям и наоборот.

Правильность измерений – это характеристика измерений, отражающая близость к нулю систематических погрешностей результатов измерений.

Сходимость результата измерений — характеристика качества измерений, отражающая близость друг к другу результатов измерений одной и той же величины, выполняемых повторно одними и теми же методами и средствами измерений и в одних и тех же условиях. Сходимость измерений отражает влияние случайных погрешностей на результат измерения.

Воспроизводимость результатов измерений — характеристика качества измерений, отражающая близость друг к другу результатов измерений одной и той же величины, полученных в разных местах, разными методами и средствами измерений, разными операторами, но приведенных к одним и тем же условиям.

В настоящее время этот термин связан с межлабораторным разбросом результатов.

В настоящее время введен термин промежуточная прецизионность это составляющая случайной погрешности, характеризующая результаты полученные, полученные в одной лаборатории в разных условиях ( время калибровка, оператор, оборудование).

4.2 Классификация погрешностей

Погрешность результата измерений – отклонение результата измерений от истинного (действительного) значения измеряемой величины.

Истинное значение ФВ применяют только в теоретических исследованиях. На практике используют действительное значение ФВ Х_Д, тогда погрешность ΔХ _изм. определяют по формуле:

ΔХ _изм = Х _изм - Х_Д

_гдеХ _{изм –измеренное значение величины,}Х_{Д- действительное значение величины}

Синонимом термина погрешность измерений является термин ошибка измерений, применять который не рекомендуется, как менее удачный.

Классификация погрешностей измерений:

4.2.1. По способы выраженияпогрешности подразделяются на абсолютные, относительные и приведенные

Абсолютные погрешности измерений - погрешности измерений, выраженная в единицах измеряемой величины.

ΔХ _изм = Х _изм - Х_Д

Однако она не может в полной мере служить показателем точности измерений, так как одно и то же ее значение, например, Д = 0,05 мм при X = 100 мм соответствует достаточно высокой точности измерений, а при X — 1 мм — низкой. Поэтому и вводится понятие относительной погрешности.

Относительна погрешность – отношение абсолютной погрешности измерений к действительному или измеренному значению измеренной величины. Она определяется в долях или процентах:

δ = Δх/х или δ = Δх/х 100%

Относительная погрешность может быть использована, когда необходимо сравнить какие-то результаты измерений по точности

Например: сравнить по точности 456± 2 и 0.46 ± 0,003

δ₁ = 0,44 % δ₂= 0,65 % . Первый результат более точный.

Эта наглядная характеристика точности результата измерения не годится для нормирования погрешности СИ, так как при изменении значений Q принимает различные значения вплоть до бесконечности при Q = 0. В связи с этим для указания и нормирования погрешности СИ используется еще одна разновидность погрешности — приведенная.

Приведенная погрешность — это относительная погрешность, в которой абсолютная погрешность СИ отнесена к условно принятому значению Q_N, постоянному во всем диапазоне измерений или его части:

(4.3)

Условно принятое значение Q_N называют нормирующим

4.2.2. По зависимости абсолютной погрешности от значений измеряемой величины различают погрешности аддитивные, мультипликативные и нелинейная (рис. 4.1):

Рис. 4.1. Аддитивная (а), мультипликативная (б) и нелинейная (в) погрешности

• аддитивные D_а, не зависящие от измеряемой величины;

• мультипликативные D_м, которые прямо пропорциональны измеряемой величине;

• нелинейные D_н, имеющие нелинейную зависимость от измеряемой величины.

Эти погрешности применяют в основном для описания метрологических характеристик СИ. Разделение погрешностей на аддитивные, мультипликативные и нелинейные весьма существенно при решении вопроса о нормировании и математическом описании погрешностей СИ.

Примеры аддитивных погрешностей — от постоянного груза на чашке весов, от неточной установки на нуль стрелки прибора перед измерением, от термо-ЭДС в цепях постоянного тока. Причинами возникновения мультипликативных погрешностей могут быть: изменение коэффициента усиления усилителя, изменение жесткости мембраны датчика манометра или пружины прибора, изменение опорного напряжения в цифровом вольтметре.

По характеру проявления: случайные и систематические, прогрессирующие и грубые погрешности.

4.2.3. По способу обработки ряда измерений: средние арифметические и средние квадратические

Рассеяние результатов в ряду измерений – несовпадение результатов измерений одной и той же величины в ряду равноточных измерений, как правило, обусловленное действием случайных погрешностей.

Оценкой рассеяния может быть размах; средняя арифметическая погрешность ( по модулю); средняя квадратическая погрешность или стандартное отклонение

Размах результата измерений - оценка рассеяния результатов идентичных измерений ФВ, образующих ряд (или выборку из n измерений), вычисляемая по формуле:

R_n = X_mak – X _min

где X_mak и X_min – наибольшее и наименьшее значение ФВ в данном ряду измерений.

Средняя арифметическая погрешность единичного измерения – обобщенная характеристика рассеяния отдельных результатов равноточных измерений, входящих в ряд из n измерений, вычисляется по формуле:

∑ | xi – x|

r = ----------------

n

где |xi – x| - абсолютное значение погрешности i -ого измерения.

Средняя арифметическая погрешность дает обобщенную характеристику погрешности каждого измерения, входящего в ряд.

Средняя квадратическая погрешность единичного измерения в ряду равноточных измерений – обобщенная характеристика рассеяния результатов, полученных в ряду независимых равноточных измерений одной и той же величины, в следствии влияния случайных погрешностей и вычисляется по формуле:

при n ≤ 20

при n ≥ 20

4.2.4. По условия изменения измеряемой величины: статические и динамические

Статические погрешности – погрешность результата измерений, свойственная условиям статических измерений (измерение длины детали при нормальной температуре)

Динамическая погрешность - погрешность результата измерений, свойственная условиям динамических измерений (измерение расстояния до земли со снижающегося самолета)

4. 2.5 По полноте охвата измеряемой величины: частные и полные

Частная погрешность – составляющая погрешности результата косвенного измерения, обусловленная погрешностью измерения одной из величин

Полная погрешность - составляющая погрешности результата косвенного измерения, обусловленная погрешностью всех величин

Например: При определении удельной поверхности рыбы были определены:

масса = 253,25 ± 0,015 г

объем = 210,68 ± 0,010 см3

Вычислим относительное среднее квадратическое отклонение результата косвенного измерения:

S/y = √ (0,015 /253,25)²+ (0,010/210,68)² = 0,76 10-⁴

S = 0,76 10^-4* y = 253,25/210,68 * 0,76 10^-4= 0,91 10^-4

Значение удельной поверхности Y = 1,2020 ± 0,000091 г/см3

4.2.6. По отношению к единице физической величины: воспроизведения единицы, передачи размера величины.

Погрешность воспроизведения единицы физической величины устанавливается при помощи эталонов

Эталоном единицы служит платиноиридиевая гиря с которой снято 42 копии. две из которых № 12 и 26 переданы России, причем № 12 утвержден в качестве государственного эталона, №26 является вторичным эталоном. При сличении с международным эталоном наш национальный эталон получил значение 1,000000068 кг ( + 0,068 мг)

Погрешность передачи размера единицы физической величины состоит их не исключенных систематических и случайных погрешностей метода и средств измерений.

Для передачи размера единицы массы от прототипа № 12 вторичным эталонам используют специальные весы № 1 и № 2 с дистанционным управлением на 1 кг, погрешность воспроизведения кг составляет 2 10⁹ кг.

Выделяют также как составляющие погрешности измерений, как инструментальные, метода, отсчета и т.д.

4.2.7. В зависимости от места возникновенияразличают инструментальные, методические и субъективные погрешности.

Инструментальная погрешность обусловлена погрешностью применяемого СИ. Иногда эту погрешность называют аппаратурной.

Методическая погрешность измерения обусловлена:

• отличием принятой модели объекта измерения от модели, адекватно описывающей его свойство, которое определяется путем измерения;

• влиянием способов применения СИ. Это имеет место, например, при измерении напряжения вольтметром с конечным значением внутреннего сопротивления. В данном случае вольтметр шунтирует участок цепи, на котором измеряется напряжение, и оно оказывается меньше, чем было до присоединения вольтметра;

• влиянием алгоритмов (формул), по которым производятся вычисления результатов измерений;

• влиянием других факторов, не связанных со свойствами используемых средств измерения.

Отличительной особенностью методических погрешностей является то, что они не могут быть указаны в нормативной и технической документации на используемое СИ, поскольку от него не зависят, а должны определяться оператором в каждом конкретном случае. В связи с этим оператор должен четко различать фактически измеряемую им величину и величину, подлежащую измерению.

4.2.8 По влиянию внешних условий различают основную и дополнительную погрешности СИ. Основной называется погрешность СИ, определяемая в нормальных условиях его применения. Для каждого СИ в нормативно-технических документах оговариваются условия эксплуатации — совокупность влияющих величин (температура окружающей среды, влажность, давление, напряжение и частота питающей сети и др.), при которых нормируется его погрешность. Дополнительной называется погрешность СИ, возникающая вследствие отклонения какой-либо из влияющих величин.

4.2.9 По характеру проявления погрешности делятся на случайные, систематические, прогрессирующие и грубые (промахи).

Систематическая погрешность измерений – составляющая погрешности результата измерения, остающаяся постоянной или закономерно изменяющаяся при повторных измерениях одной и той же ФВ.

В зависимости от характера измерений систематические погрешности подразделяются на постоянные, прогрессивные, периодические и погрешности, изменяющиеся по сложному закону.

1.Постоянные погрешности - которые длительное время сохраняют свое значение, они встречаются наиболее часто;

2.Прогрессивные погрешности – непрерывно возрастающие или убывающие во времени (погрешности в результате износа, при прогреве прибора)

3.Периодические – погрешности, значение которых являются периодической функцией времени или перемещения указателя измерительного прибора.

4.Погрешности, изменяющиеся по сложному закону- погрешности совместного действия нескольких систематических погрешностей.

В зависимости от причины появления систематические погрешности подразделяются на:

1.Субъективная погрешность измерения - составляющая погрешности измерения, обусловленная индивидуальными особенностями оператора.

2.Инструментальная погрешность – составляющая погрешности измерения, обусловленная погрешностью применяемого средства измерений.

3.Погрешность метода измерений - составляющая погрешности измерения, обусловленная несовершенством принятого метода измерений.

4.Погрешности установки

5.Погрешности влияющих величин

Систематические погрешности могут быть оценены до начала измерений и учтены путем:

- введения поправочного коэффициента

- оценки вероятность их границ и включением этого значения в общую погрешность результата измерений;

- принятия мер для полного или частичного исключения источника возможных погрешностей.

Случайная погрешность измерения – составляющая погрешности измерения, изменяющаяся случайным образом (по знаку и значению ) при повторных измерениях, проведенных с одинаковой тщательностью, одной и той же ФВ.

В появлении таких погрешностей (рис. 4.2) не наблюдается какой-либо закономерности, они обнаруживаются при повторных измерениях одной и той же величины в виде некоторого разброса получаемых результатов. Случайные погрешности неизбежны, неустранимы и всегда присутствуют в результате измерения. Описание случайных погрешностей возможно только на основе теории случайных процессов и математической статистики.

Рис. 4.2 . Изменение случайной погрешности от измерения к измерению

В отличие от систематических случайные погрешности нельзя исключить из результатов измерений путем введения поправки, однако их можно существенно уменьшить путем увеличения числа наблюдений. Поэтому для получения результата, минимально отличающегося от истинного значения измеряемой величины, проводят многократные измерения требуемой величины с последующей математической обработкой экспериментальных данных.

Основу теории случайных ошибок составляют предположения о том, что при большом числе измерений случайные погрешности одинаковой величины, но разного знака встречаются одинаково часто; большие погрешности встречаются реже, чем малые (вероятность появления погрешности уменьшается с ростом ее величины); при бесконечно большом числе измерений истинное значение измеряемой величины равно среднеарифметическому значению всех результатов измерений, а появление того или иного результата измерений как случайного события описывается нормальным законом распределения.

Чтобы понять, каким образом небольшие погрешности накладываются одна на другую в разных сочетаниях и как они влияют на результат параллельных определений, рассмотрим пример, когда суммарная случайная погрешность измерений формируется под действием четырех небольших, примерно равных по величине (D₁ = D₂ = D₃ = D₄) элементарных погрешностей на разных этапах анализа. Условимся, что каждая из этих элементарных погрешностей проявляется в каждом параллельном определении с равной вероятностью либо отрицательно, либо положительно. В табл. 4.1 показаны все возможные сочетания этих четырех погрешностей.

Таблица 4.1 -Возможные сочетания четырех равных погрешностей
на разных этапах анализа

Комбинации погрешностей Величина суммарной случайной погрешности Относительная частота появления этой погрешности

+D₁ +D₂ +D₃ +D₄ +4D

-D₁ +D₂ +D₃ +D₄ +2D

+D₁ -D₂ +D₃ +D₄ +2D

+D₁ +D₂ -D₃+D₄ +2D

+D₁ + D₂+D₃ -D₄ +2D

-D₁ -D₂ +D₃ +D₄

-D₁ +D₂ -D₃ +D₄

-D₁ +D₂+D₃-D₄

+D₁-D₂ -D₃ +D₄

+D₁ -D₂ +D₃ -D₄

+D₁ +D₂ -D₃ -D₄

+D₁ -D₂ -D₃ -D₄ -2D

-D₁ +D₂ -D₃ -D₄ -2D

-D₁ -D₂ +D₃ -D₄ -2D

-D₁ -D₂ -D₃ +D₄ -2D

-D₁ -D₂ -D₃ -D₄ -4D

Как видно из табл. 4.1, только одна комбинация может привести к максимальной положительной суммарной погрешности +4D и одна – к максимальной отрицательной погрешности -4D. Четыре комбинации приводят к суммарной погрешности +2D и четыре – к максимальной отрицательной погрешности -2D. Шесть комбинаций приводят к нулевой суммарной погрешности. Соотношение 1:4:6 отражает вероятность появления случайных суммарных погрешностей, равных по абсолютной погрешности 4D, 2D и 0.

Различают генеральную и выборочную совокупность измерений. Под генеральной совокупностью подразумевают все множество возможных значений х_i или возможных значений погрешностей Δх_i. Для выборочной совокупности число измерений n ограничено, и в каждом конкретном случае строго определяется. Обычно считается, если n › 30, среднее значение данной совокупности измерений х_i достаточно приближается к его истинному значению.

Теория случайных ошибок позволяет оценить точность и надежность измерений при данном количестве замеров и определить минимальное количество замеров, гарантирующее требуемую точность и надежность измерений. Из теории вероятности известно, что наиболее универсальным способом описания случайных величин, является описание их дифференциальных функций распределения, т.е. плотности распределения вероятности р. Она всегда неотрицательная и подчиняется условию нормирования: . Достоверное событие имеет вероятность р=1, невозможное р=0. Для случайного события , а сумма вероятностей всех возможных значений равна 1. Зависимость вероятности Р ожидания отдельных значений случайной величины от самих этих значений называется функцией распределения или рассеивания. Функция распределения может иметь любую форму. Наиболее часто в качестве модели распределения случайных погрешностей применяется нормальный закон распределения (рис.4.2).

).

Рис 4.2 Нормальный закон распределения случайных погрешностей

Мерой рассеивания результатов измерений является дисперсия D или среднеквадратичное отклонение, которая вычисляется по формуле:

(4.6)

Значительно чаще в качестве меры рассеивания используется среднее квадратическое отклонение , которое определяют по формуле

(4.7)

Чем меньше , тем меньше рассеяние, т.е. большинство наблюдений мало отличаются друг от друга, тем больше сходимость результатов измерений. Таким образом, несмотря на то, что истинное значение измеряемой величины всегда остается неизвестным, при помощи математической статистики можно определить пределы области вокруг экспериментально найденного значения измеряемой величины, внутри которой следует ожидать с заданной степенью вероятности нахождение истинного значения. Пределы, найденные таким образом, называются доверительными границами, а интервал, ограниченный ими, – доверительным . Доверительный интервал характеризует точность измерений. Достоверность измерений (доверительная вероятность) р_д – это вероятность того, что истинное значение измеряемой величины попадает в данный доверительный интервал. Эта величина определяется в долях или в процентах, для технологических расчетов она, обычно, принимается равной 0,95. Это означает, что в заданный доверительный интервал из 100 измерений попадают 95. Значение (1-р_Д) – называется уровнем значимости. Из него следует, что при нормальном законе распределения погрешность, превышающая доверительный интервал, будет встречаться один раз из n измерений, где n = р_Д/ (1-р_Д)

Если число измерений меньше 30, половина доверительного интервала определяется по формуле

, , (4.8)

а действительное значение измеряемой величины равно:

(4.9)

Тогда доверительный интервал

(4.10)

Доверительный интервал характеризует точность измерений, а доверительная вероятность – достоверность измерений. Ширина доверительного интервала зависит:

· от величины рассеивания результатов измерений (от числа измерений);

· от доверительной вероятности утверждения (доверительной вероятности).

Например выполнено 9 измерений размера величины и получено средне значение 170; получена среднеквадратическое отклонение 3, 1 мм

Требуемую точность измерений можно определить для разных уровней доверительной вероятности: 0,9 –t=1.86; 0,95 t=2.31 и 0.99 t = 3,36

1. µ= 3,1*1,86/3= 1,922

2. µ=3,1*2,31/3= 2,387

3. µ = 3,1*3,36/3=3,472

При уменьшении доверительной вероятности на 10% точность результата возрастает примерно на 44 %.

Таблица 4.2 – Коэффициенты Стьюдента

Число измерений n Доверительная вероятность Р_Д

0,80 0,90 0,95 0,99

3,080 6,310 12,710 63,700

1,886 2,920 4,300 9,920

1,638 2,350 3,188 5,840

1,533 2,130 2,770 4,600

1,476 2,020 2,570 4,030

1,440 1,940 2,450 3,710

1,415 1,860 2,360 3,500

1,397 1,830 2,310 3,360

1,383 1,800 2,260 3,250

Относительная погрешность результатов серии измерений при заданной доверительной вероятности определяют по формуле:

% (4.11)

Прогрессирующая (дрейфовая) погрешность — это непредсказуемая погрешность, медленно меняющаяся во времени. Впервые это понятие было введено в монографии М.Ф. Маликова "Основы метрологии", изданной в 1949 г. Отличительные особенности прогрессирующих погрешностей:

• они могут быть скорректированы поправками только в данный момент времени, а далее вновь непредсказуемо изменяются;

• изменения прогрессирующих погрешностей во времени — нестационарный случайный процесс, и поэтому в рамках хорошо разработанной теории стационарных случайных процессов они могут быть описаны лишь с известными оговорками.

Прогрессирующая погрешность — это понятие, специфичное для нестационарного случайного процесса изменения погрешности во времени, оно не может быть сведено к понятиям случайной и систематической погрешностей. Последние характерны лишь для стационарных случайных процессов. Прогрессирующая погрешность может возникнуть вследствие как непостоянства во времени текущего математического ожидания нестационарного случайного процесса, так и изменения во времени его дисперсии или формы закона распределения.

Понятие прогрессирующей погрешности широко используется при исследовании динамики погрешностей СИ [5] и метрологической надежности последних.

Грубая ошибка (промах) - это заведомо неправильный результат, возникающий в следствии нарушения основных условий измерения или в результате недосмотра экспериментатора. Например, при плохом освещении шкалы можно вместо 3 записать 8.

Грубые ошибки необходимо отбрасывать , измерения повторить. Внешним признаком результата , содержащего грубую ошибку является его резкое отличие по величине от остальных значений.

Грубые ошибки отбраковываются путем расчета специальных критериев.

1 способ:

Пусть имеется число измерений (n+1), n не вызывают сомнения, одно нарушает ряд измерений. Все измерения выстраивают в порядке возрастания, тогда сомнительный результат будет Х _п+1 или Х_п-1

Находим среднее арифметическое значение n измерений:

(1.10)

Определяем среднюю квадратическую погрешность:

(1.11)

Исходя из степени достоверности, которая должна быть обеспечена, зададимся вероятностью Р того, что значение / Х_п+1-Х/ не превышает некоторого значения ε (допустимое значение интервала), которое определим по формуле

ε = t σ (1.12)

Если / Х_п+1-Х/ > ε результат Х_п+1- подлежит исключению.

Например: получили результаты 81,80,80,82,87.

= 80,8

σ = 0,96

ε = 2,35 * 0,96 = 2,26

87-82 > 2,26; 87 – промах, исключается при обработке результатов

2 способ. С использованием критерия Диксона.

Все измерения располагают в порядке возрастания

Если величина, которая вызывает сомнение Х₁, то Кд определяют по формуле:

(1.13)

Если величина, которая вызывает сомнение Х_n+1, то Кд определяют по формуле:

(1.14)

Если Кд больше табличного значения Zp (таблица 1.2), которое определяется в зависимости от доверительной вероятности Р и числа степеней свободы (n-1), то результат, который вызывает сомнение в расчет не берут.

Например. Располагаем ряд измерений по возрастанию: 80,80,81,82,87

0,71

При доверительной вероятности 0,95 и числе степеней свободы 4

Zp = 0,64; 0,71>0,64 , значит 87 – промах.

Таблица 1.2

Число степеней свободы (n-1) Zp при Р

0,90 0,95 0,99

0,58 0,75 0,89

0,56 0,64 0,78

0,48 0,56 0,70

0,35 0,41 0,53

3 способ. С использованием критерия Шовине, который используют, если число измерений невелико (не более 10). В этом случае промахом считается результат Хi, если разность | -Xi| превышает значение , приведенные ниже в зависимости от числа измерений:

| -Xi| › 1,6 при n = 3

| -Xi| › 1,7 при n = 6

| -Xi| › 1,9 при n = 8

| -Xi| › 2,0 при n=10