Векторы, линейные операции над векторами. Координаты вектора, аналитическое выражение длины и направление вектора
Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат на плоскости. Единичный вектор оси обозначим , единичный вектор оси обозначим . Таким образом, и . Говорят, что векторы образуют ортонормированный базис на плоскости. Любой вектор можно выразить через вектора , то есть представить в виде . Это представление называется разложением вектора по базису . Числа называются координатами вектора в базисе .
Любые два непараллельных вектора и образуют базис на плоскости и любой третий вектор может быть разложен по этому базису, то есть представлен в виде .Числа называются координатами вектора в базисе .
Пример.Проверить, что векторы и образуют базис и разложить вектор по этому базису.
Векторы параллельны, если их координаты пропорциональны: координаты не пропорциональны, значит, векторы и непараллельны, то есть образуют базис. Найдем числа такие, что . Векторы слева и справа равны, значит, равны их координаты:
Задание 1.Проверить, что векторы , , образуют базис и разложить вектор по этому базису.
Три вектора в пространстве образуют базис, если они не компланарны. Условие компланарности выглядит следующим образом: Векторы компланарны Проверим: векторы образуют базис. Разложим вектор по этому базису, то есть найдем числа такие, что . Раскрывая скобки, получим Приравнивая соответствующие координаты, получим систему уравнений, которую решаем, например, методом Крамера:
Значит,
Скалярным произведением векторов и называется число
. Здесь - угол между этими векторами, - длины векторов. Скалярное произведение позволяет:
Пусть в ортонормированном базисе заданы векторы и . Тогда длина (модуль) вектора находится по формуле , а скалярное произведение
Пример. Найти расстояние между точкой и точкой . Запишем координаты вектора : , значит, Находим длину этого вектора: Пример. Проверить, будут ли векторы и перпендикулярны. Для проверки перпендикулярности надо найти скалярное произведение.
Значит, Задание 2.В треугольнике АВС найти периметр, косинус угла при вершине В и проекцию вектора на вектор . Треугольник задан вершинами
Найдем координаты векторов , и : , . Тогда , , . Значит, периметр треугольника равен . Найдем угол при вершине В: Найдем проекцию:
Популярное: Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (671)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |