Свойства нормального распределения
Ø Нормальное распределение есть распределение вероятности суммы независимых случайных величин с конечными дисперсиями при неограниченном увеличении числа слагаемых.
С точки зрения процесса измерений нормальное распределение погрешностей есть результат одновременном действия большого числа независимых факторов, каждый из которых незначительно и независимо от других оказывает в влияние на суммарную погрешность измерений.Именно по этому случайная погрешность измерений наиболее часто описываются законом нормального распределения поскольку В реальности мы всегда имеем дело с ограниченным числом источников погрешностей. Однако, при сложении даже только четырех-пяти случайных величин с различными законами распределения, но с соизмеримыми дисперсиями (т.е. со сравнимыми величинами погрешностей), мы приходим к закону распределения погрешностей, близкому к нормальному. Особенно, если плотность вероятности достаточно велика Функция распределения вероятности p(d) определяет вероятность того, что величина случайной погрешности окажется равной заданной. Нормальное распределение плотности вероятности p(d) центрированной случайной погрешности dописывается функцией Гаусса:
…10
где: d - величина случайной погрешности, s - среднеквадратическое отклонение измеряемой величины от истинной. Из (10) следует: 1). Площадь, ограниченная графиком и осью абсцисс, всегда остается неизменной и равной 1 при любых значениях s, что соответствует тому, что вероятность появления ошибки, отличной от нуля равна р(d¹0)=1: …11 2). Вероятность того, что величина случайной погрешности окажется в интервале от d=-a до d=+а, определяется соотношением:
…12
Если выразить величину интервала в единицах s, т.е. принять a = ts, где t – безразмерный коэффициент, и таким образом связать величину ожидаемой погрешности |d|×=a со среднеквадратичным отклонением, то интеграл (12) можно преобразовать к виду, который определяет вероятность нахождения величины погрешности в интервале d=±t и называется интегралом ошибок:
(13)
Значения интеграла ошибок Ф(t) заранее вычислены, затабулированы и широко используются в практических расчетах. С его помощью при нормальном законе распределения можно вычислить вероятность того, что величина случайной погрешности лежит в некотором заданном интервале значений. В частности: · P(-3s<d3s)=2Ф(3)=0,9972 - случайная составляющая погрешности измерения с вероятностью 0,9972 не выходит за пределы интервала ±3s · P(-2,67s<d<2,6s)=2Ф(2,6)=0,99 - случайная составляющая погрешности измерения с вероятностью 0,99 лежит в пределах ±2,6s · P(-2s<d<2s)=2Ф(2)=0,95 - случайная составляющая погрешности измерения с вероятностью 0,95 лежит в пределах интервала ±2s. · Р(-(-s<d<s)=2Ф(1)=0,68 - вероятность того, что величина погрешности не превышает своего среднеквадратического значения составляет 0,68
Когда число отдельных измерений достаточно велико, N ³ 30, то с высокой степенью точности можно считать среднеарифметическое значение измеряемой величины равным среднему, принимаемому за ее действительное значение. При этом среднеквадратическое отклонение отдельного измерения s0 равно среднеквадратическому отклонению многократного измерения sА и соответствующему параметру закона нормального распределения s. ;
Вероятная погрешность. Величина вероятной погрешности определяет интервал значений случайной погрешности - доверительный интервал, которые эта погрешность может принимать с доверительной вероятностью равной 0,5 .
Ø Вероятной погрешностью называют такую величину погрешности, относительно которой при повторных измерениях 50% случайных погрешностей будет по абсолютной величине больше вероятной погрешности, а другие 50% - меньше ее. При нормальном законе распределения вероятная погрешность результата измерений, т.е. погрешность определения среднеарифметического значения, будет равна (14) Правило 3s
При N> 30 принято отбрасывать результаты отдельных измерений, отличающихся от среднеарифметического более, чем на 3s, для которых | А-аi| >3s, поскольку вероятность их появления составляет менее 0,003. Ø При нормальном законе распределения за максимальную величину случайной составляющей погрешности принимают ее значении, равное трем значениям среднеквадратичной погрешности dmax=3s. Ø Погрешности более, чем второе превосходящие среднеквадратичное значение считаются грубыми и исключаются из дальнейшего рассмотрения.
Распределение Стьюдента.
На практике количество измерений достаточно ограничено и для определения доверительного интервала при нормальном распределении результата отдельного измерения вместо интеграла ошибок используют закон распределение ошибок Стьюдента и соответствующий интеграл, значения которого тоже табулированы в виде коэффициентов Стьюдента tN, Эти коэффициенты зависят от задаваемой доверительной вероятности Р и количества измерений N (Таблица 1). Для определения доверительного интервала среднеквадратическая погрешность sА умножается на коэффициент Стьюдента, взятый из соответствующей таблицы, и границы доверительного интервала записываются в виде:
(15)
Понятие о доверительном интервале используется для выявления грубых ошибок. Если результат отдельного измерения выходит за пределы доверительных границ, то это нарушение статистической закономерности с принятой доверительной вероятностью можно рассматривать как проявление грубой погрешности. Такой результат должен быть отброшен и все расчеты проведены заново. Таблица 1. Коэффициенты Стьюдента
Пример: С помощью стрелочного вольтметра измерялось напряжение в электрической сети. Измерения выполнялись 8 раз, их результаты приведены в таблице 1
Среднеарифметическое значение измеренного напряжения, которое мы принимаем за его действительное значение, равно 224 В. Тогда можно вычислить погрешности отдельных измерений и рассчитать среднеквадратическое отклонение:
Определим интервал, в котором измеряемого напряжения находится с доверительной вероятностью 99%. Для этого по таблице коэффициентов распределения Стъюдента для доверительной вероятности Р=0,99 и N=8 находим tn = 3,5. Отсюда согласно формуле (1.11) находим величину напряжения: U=224 В ± 3 ´ 3,5 В= (224±10,5) В = (224±11) В. Здесь мы учли, что данные измерений известны с точностью 1 В, поэтому все вычисляемые значения также округляются до 1 В. Полученная оценка показывает, что погрешность одного из измерений (№ 5) не укладывается в установленный доверительный интервал, т.е. содержит грубую погрешность. Это значение должно быть исключено, а процедура определения погрешности проведена заново, но при количестве измерений N=7. В результате мы получим, что с вероятностью 0,99 действительное значение напряжения лежит в пределах (221±8) В.
Популярное: Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (971)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |