Полярная система координат
Говорят, что на плоскости введена полярная система координат, если заданы: 1) некоторая точка 0, называемая полюсом; 2) некоторый луч, исходящий из точки 0 и называемый полярной осью. Полярными координатами точки M называются два числа: полярный радиус и полярный угол - угол между полярной осью и вектором . Пусть на плоскости введены декартова и полярная системы координат, причем начало декартовой системы совпадает с полюсом, а полярная ось - с положительной полуосью абсцисс. Тогда прямоугольные координаты x, y точки М и ее полярные координаты ρ, φ связаны следующими формулами: , , Задание 4. Линия задана уравнением в полярной системе координат. Требуется: 1. Построить линию по точкам, придавая φ значения от до через промежуток . 2. Найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью. 3. По уравнению в декартовой прямоугольной системе координат определить тип линии. Решение. 1) Совместим декартову и полярную системы координат и рассмотрим окружность произвольного, достаточно большого радиуса с центром в полюсе. Построим радиусы, образующие углы с полярной осью, где принимает значения от до с шагом . Вычислим косинусы этих углов и по этим значениям найдем . Результаты вычислений занесем в таблицу:
Построим точки ( ) и по полученным точкам построим искомую линию:
2) Найдем уравнение данной линии в декартовой системе координат. Для этого воспользуемся формулами: . Отсюда , . Тогда имеем: или после упрощения . 3) Чтобы определить тип линии, определяемой полученным уравнением, преобразуем его к каноническому виду: или . Окончательно получим: , где , . Таким образом, данное уравнение определяет параболу. Комплексные числа Выражение вида , где и - вещественные числа, , называется комплексным числом (в алгебраической форме). Комплексное число = называется комплексно-сопряженным числом к комплексному числу . Действия над комплексными числами. Пусть даны два комплексных числа: и . Тогда 1) 2) 3) = . Для любого комплексного числа имеем: Величина называется модулем комплексного числа. Угол , определяемый равенствами , , называется аргументом комплексного числа. Любое комплексное число можно записать в тригонометрической форме: , где . Для выполнения действий возведения комплексного числа в натуральную степень и извлечения корня с натуральным показателем используются формулы Муавра: 1) ; 2) , . Задание 5 Дано комплексное число . Требуется: 1) записать данное число в алгебраической и тригонометрической формах; 2) найти все корни уравнения . Решение 1) Приведем комплексное число к алгебраической форме: . Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на число , комплексно-сопряженное знаменателю. Получим: . Это и есть алгебраическая формакомплексногочисла , где . Теперь приведем комплексное число к тригонометрическому виду: , где - модуль комплексного числа , - аргумент этого числа. Для этого найдем . Для нахождения имеем систему: или и тогда . Следовательно, тригонометрическая форма комплексного числа имеет вид: . 3) Найдем теперь все корни уравнения , откуда Тригонометрическая форма комплексного числа - имеет вид: . По второй из формул Муавра получаем: , где Тогда корни уравнения имеют вид: 1. При ; 2. При ; 3. При .
Популярное: Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1515)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |