Обобщенная математическая модель

Рассмотрим некоторые общие положения, связанные с математическим моделированием.

Любой объект моделирования (например, криогенную систему в целом, отдельный аппарат, технологический процесс и т.д.) можно рассматривать как некоторый комплекс, подверженный воздействию различных факторов, определяющих течение процессов и характеризующих состояние объекта в любой момент времени.

Обычно все многообразие действующих факторов разделяют на следующие группы (рис.5.1).

1) Входные факторы и параметры x_i, i = 1, 2, ... , k. Входными называются факторы и параметры, значения которых могут быть измерены, но возможность воздействия на которые отсутствует. Их значения не зависят от режима процессов, протекающих в объекте моделирования.

Если рассматривать в качестве объекта моделирования криогенную установку, то входными параметрами для нее будут температуры источников тепла – окружающей среды и охлаждаемого объекта, а входным фактором – холодопроизводительность, требующаяся для осуществления технологического процесса.

2) Управляемые (управляющие) факторы u_i, i = 1, 2, ..., m. К ним относятся те факторы, на которые можно оказывать прямое воздействие в соответствии с теми или иными требованиями, что позволяет управлять процессом.

Для нашего примера к управляемым факторам можно отнести степень расширения рабочего тела в дроссельном вентиле, расходы криоагента, давление в нижней ректификационной колонне и т.д.

3) Возмущающие факторы w_i, i = 1, 2, ..., r. Это факторы, значения которых могут изменяться с течением времени и которые недоступны для измерения.

Возмущающими факторами могут быть прекращение подачи охлаждающей воды к компрессору, сбой энергоснабжения, засорение регулирующего органа и подобные случайные явления.

u₁ u₂ . . . u_m

x₁ y₁

x₂ y₂

. . . . . .

x_k y_n

w₁ w₂ . . . w_r

Рис.5.1

4) Выходные факторы и параметры y_i, i = 1, 2, ..., n. Выходными называются факторы и параметры, которые определяются режимом моделируемого объекта и характеризуют его состояние, возникающее в результате суммарного воздействия входных, управляемых и возмущающих факторов и параметров.

К выходным параметрам в нашем примере могут быть отнесены действительная холодопроизводительность криогенной установки, теплофизические параметры криоагентов на выходе из аппаратов и агрегатов и т.п.

По отношению к объекту моделирования входные и управляемые параметры являются внешними, не зависящими от его режима работы. Выходные факторы и параметры относятся к внутренним, так как на них влияет режим работы объекта.

Объекты моделирования, для которых велико влияние случайных возмущающих факторов, называют стохастическими, в отличие от детерминированных, для которых значения выходных параметров однозначно определяются входными и управляющими параметрами и факторами. Стохастические процессы изучают, используя математический аппарат теории вероятности. Мы в дальнейшем будем рассматривать детерминированные объекты.

Для описания совокупности входных, управляющих и выходных факторов часто используется векторная форма записи

X = (x₁, x₂, ... , x_k),

U = (u₁, u₂, ... , u_m),

Y = (y₁, y₂, ... , y_n),

с учетом которой зависимость выходных факторов и параметров, характеризующих объект или процесс, от входных и управляющих можно представить в виде

Y = Ф(X, U). (10.1)

Величина Ф здесь рассматривается как вектор-функция, поэтому

y_i = j _i (X, U).

Если известен вид соотношения (1.1), то можно утверждать, что известна математическая модель процесса.