ПОНЯТИЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ
3.1. Три определения непрерывной в точке x0 Функции
Определение 1.Функция называется непрерывной в точке x0 , если 1) функция y = f(x) определена в самой точке x0 и в некоторой ее окрестности; 2) . Заметим, что не всегда совпадает со значением функции y = f(x) в точке x0 (даже в тех случаях, когда этот предел существует). Функции, для которых (непрерывные функции), – это наиболее используемые как в самой математике, так и в ее приложениях функции. В основе понятия непрерывности лежит понятие предела функции. Используя определение предела «на языке ε – δ», можно дать «на языке ε – δ» и определение непрерывной функции. Определение 2. Функция y = f(x) называется непрерывной в точке x0, если она определена в точке x0 и в некоторой ее окрестности и для такое, что
Если ввести обозначения x – x0 = ∆x, f(x) – f(x0) = ∆y,то можно дать еще одно определение непрерывной в точке x0 функции, равносильное двум данным определениям. Определение 3.Функция y = f(x) непрерывна в точке x0, если бесконечно малому приращению ее аргумента в точке x0 будет соответствовать бесконечно малое приращение функции, то есть если . Геометрическая иллюстрация поведения Функции в случаях
1) 2)
3.3. В каком случае функция y = f(x) называется непрерывной на замкнутом промежутке [a , b]?
Функция должна быть непрерывна в каждой внутренней точке промежутка [a, b], при этом в граничных точках промежутка должна иметь место так называемая односторонняя непрерывность: , .
В каком случае будут непрерывны функции ? Сумма, произведение и частное двух функций будут непрерывными в точке x0 функциями, если каждая из функций f(x) и g(x) будет непрерывна в точке x0, причем в случае функции должно быть выполнено условие: . Это утверждение следует из определения 1 непрерывной в точке функции и теореме о пределе суммы, произведения и частного двух функций. Что можно сказать о непрерывности простейших Элементарных функций? Каждая из простейших элементарных функций непрерывна в каждой точке своей области определения. Непрерывность каждой элементарной функции доказывается отдельно. Мы сделаем это, когда перейдем к решению задач. Перечислить условия, при которых сложная функция y = f(g(x)) будет непрерывна в точкеx0 1. Функция y = f(g(x)) должна быть определена в точке x0 и в некоторой ее окрестности. 2. Функция g(x) должна быть непрерывна в точке x0 . 3. Функция y = f(z) должна быть непрерывна в точке z0 , причем z0= g(x0).
Популярное: Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (508)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |