Проходящей через три заданные точки
Пусть М1(x1, y1 ,z1), М2(x2, y2 ,z2), М3(x3, y3 ,z3) - три заданные точки и М(x, y ,z) – произвольная точка плоскости. Тогда векторы , , лежат в одной плоскости, т.е. компланарны. Условием компланарности трех векторов является равенство нулю определителя третьего порядка, составленного из координат этих векторов,
Это – уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки. Если плоскость пересекает оси координат в точках М1(а, 0 , 0), М2(0, b, 0), М3(0, 0 , c), то уравнение (3.4) примет вид = 0 Þ Þ = = . Деля последнее уравнение на , получим уравнение
В этом уравнении a, b, c – отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координат , , ,соответственно, поэтому оно называется уравнением плоскости в отрезках. Пример 3.2 Составить уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки: М1(2, –1 , 3), М2(–1, 1 , 4), М3(–2, 5 , 2). Решение Подставив координаты точек в уравнение (3.4), получим = 0 Þ = 0, Раскладывая определитель по элементам первой строки, получим – + = 0, Þ Þ , Þ +16–7+30= = 0, Þ – 39 = 0. Угол между двумя плоскостями Рассмотрим задачу о вычислении угла между двумя плоскостями и . Угол между плоскостями измеряется линейным углом, который равен углу между нормальными векторами 1(A1, B1, C1) и 2(A2, B2, C2) этих плоскостей. Поэтому
Если плоскости ортогональны, то ортогональны (взаимно перпендикулярны) и их нормальные векторы. В этом случае , , тогда из формулы (3.6) следует условие ортогональности плоскостей
Если плоскости параллельны, то параллельны и их нормальные векторы. Координаты параллельных векторов пропорциональны:
Уравнения (3.8) представляют собой условия параллельности плоскостей.
Общие уравнения прямой Прямую линию в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух плоскостей и , т.е. как множество точек, координаты которых удовлетворяют системе уравнений Эти уравнения называются общими уравнениями прямой.
Канонические уравнения прямой Прямая в пространстве определяется однозначно, если известна точка М0(х0, y0, z0), через которую проходит эта прямая, и вектор (m, n, p), параллельный этой прямой. Такой вектор называют направляющим вектором прямой.
Рис. 3.2
Составим уравнение прямой, проходящей через точку М0, параллельно вектору (рис.3.2). Пусть – произвольная точка, лежащая на прямой L, тогда вектор = (x – x0, y – y0, z – z0) коллинеарен вектору (m, n, p). Условием коллинеарности векторов является пропорциональность координат, поэтому получаем уравнения
Эти уравнения называются каноническими уравнениями прямой. Пример 3.3 Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку М0(1,–2, 3) параллельно вектору = (2, 0, –3). Решение Подставим координаты точки М0 и координаты вектора в уравнение (3.9), получим . Уравнения прямой,
Популярное: Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (657)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |