Задания для самостоятельного решения. Предел последовательности и функции
Предел последовательности и функции
Числовая последовательность
Числовой последовательностью называется функция, определённая на множестве натуральных чисел, которая каждому натуральному числу n ставит в соответствие число . Числовую последовательность обозначают , т.е. – n-ый член последовательности, а формула называется формулой общего члена последовательности. Зная функцию и номер n, можно вычислить любой член последовательности. Последовательность, у которой все члены равны между собой, называется постоянной. Последовательность может быть задана: 1) аналитическим способом (задается формула n-го члена последовательности, по которому могут быть найдены все остальные); 2) реккурентным способом. (задается первый или несколько первых членов последовательности и указывается правило, позволяющее найти последующие члены прогрессии через предыдущие); 3) геометрически (точками на числовой оси), соответствующими конкретным значениям ; 4) графическим способом (задаются точки , на координатной плоскости); 5) словеснымописанием; Табличным способом. Последовательность называется возрастающей (строго), если является возрастающей (строго) числовой функцией, т.е. если . Последовательность называется убывающей (строго), если – убывающая (строго) числовая функция, т.е. . Последовательность называется неубывающей, если каждый её член, начиная со второго, не меньше предыдущего, т.е. . Последовательность (хn) называется невозрастающей, если каждый её член, начиная со второго, не больше предыдущего, т.е. . Возрастающая и убывающая последовательности называются монотонными последовательностями. Последовательность называется ограниченной, если существует такие числа m и M, что выполняется неравенство . Если существует такое число M, что , то последовательность называется ограниченной сверху; если существует такое число m, что , то последовательность называется ограниченной снизу. Последовательность ограничена тогда и только тогда, когда существует такое положительное число C, что выполняется неравенство .
Пример 1. Определить, является ли число 28 членом последовательности , если . Решение. Число 28 является членом последовательности, если найдётся такой номер , для которого выполняется равенство . Решим это квадратное уравнение , т.е. , . Числа , значит, число 28 не является членом данной последовательности. Пример 2. Вычислить первые пять членов последовательности , если . Определить, для каких членов последовательности выполняется условие . Решение. Подставляя в формулу общего члена значение n=1,2,3,4,5, получим: ; ; ; ; . Решим неравенство Решением этого неравенства будут . Поэтому для любых членов последовательности с номерами от 1 до 20 включительно выполняется условие . Пример 3. Последовательность задана следующим образом (реккурентно): и . Вычислить первые 4 ее члена. Решение: Первый члена последовательности известен: . Для вычисления в заданной формуле для положим . Получим . Для вычисления в формуле выбираем . Тогда выразится через найденный член : . Аналогично: . Пример 4.Последовательность задана формулой общего члена: . Задать таблично первые 8 ее членов, изобразить их геометрически и графически. Решение. Вычислим первые 8 членов заданной последовательности и заполним таблицу. Для геометрической иллюстрации изобразим на числовой оси члены последовательности (рис.1)
Рис.1 В системе координат укажем точки плоскости, которые имеют координаты для (рис.2).
Рис. 2 Пример 5. Доказать, что последовательность является строго убывающей. Решение. Если последовательность строго убывающая, то выполняется неравенство или . Вычисляем . Составим отношение . Поскольку , действительно. Получаем для любых натуральных n. Значит, последовательность является строго убывающей. Пример 6. Исследовать последовательность , на ограниченность. Решение. Запишем формулу общего члена последовательности следующим образом: . Так как и , то , а поэтому и . Следовательно, последовательность является ограниченной сверху. Поскольку неравенство выполняется для всех , то . Значит, последовательность является также ограниченной снизу. Приходим к выводу. что – ограниченная последовательность.
Задания для самостоятельного решения
I уровень 1.1. Последовательность задана формулой . Найдите . 1.2. Запишите первые пять членов последовательности: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 1.3. Последовательность задана формулой . Найдите . 1.4. Найдите первые пять членов последовательности ( ), заданной реккурентно: 1) и ; 2) и ; 3) и . 1.5. Докажите, что последовательность, заданная формулой общего члена, является возрастающей: 1) ; 2) . 1.6. Докажите, что последовательность, заданная формулой общего члена, является убывающей: 1) ; 2) ; 3) . 1.7. Изобразите первые семь членов последовательности ( ) на числовой оси, если 1) 2) 1.8. Известно, что членом последовательности являются числа, каждое из которых, начиная с 0, на 2 единицы больше предыдущего. Запишите первые 5 членов этой последовательности.
II уровень 2.1. Запишите первые шесть членов последователь- ности (xn): 1) 2) 2.2. Запишите первые шесть членов последовательности: 1) чётных, натуральных чисел, кратных числу 3. 2) натуральных чисел, которые при делении на 7 дают остаток 5. 3) натуральных чисел, кратных числам 3 и 4. Укажите формулу n-го члена последовательности. 2.3. Определите, содержится ли среди членов числовой последовательности число: 1) ; 2) ; 3) . 2.4. Исследуйте последовательность на ограниченность: 1) ; 2) 3) ; 4) 5) 6) 7) 8) . 2.5. Изобразите графически ( в системе координат 10 членов последовательности ( ), если 1) 2) 3) ; 4) .
III уровень 3.1. Найдите первые девять членов последовательности Фибоначчи, заданной реккурентно: и , . 3.2. Запишите первые шесть членов последовательности приближенных значений с точностью до (по недостатку). 3.3. Определите, для каких членов последовательности , заданной формулой не выполняется условие . 3.4. Последовательность задана формулой Определите сколько членов этой последовательности принадлежит промежутку . 3.5. Последовательность задана формулой . Установите, верно ли равенство .
Популярное: Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (913)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |