Векторные формулы для скоростей и ускорений точек тела
Выразим скорость, касательное, нормальное и полное ускорения точки тела в векторной форме. Скорость точки по модулю и направлению можно представить векторным произведением , (65) где – радиус-вектор точки , проведенный из произвольной точки оси вращения , например точки (рис. 30). Выражение (65) называется векторной формулой Эйлера. Убедимся в справедливости этой формулы проверкой. Действительно, вектор перпендикулярен плоскости, в которой расположены векторы, входящие в векторное произведение. По направлению он параллелен скорости , направленной по касательной к окружности. Модуль векторного произведения: , так как . Таким образом, векторное произведение по модулю и направлению определяет скорость точки. Следует только считать этот вектор приложенным в точке ; он не зависит от точки приложения вектора на оси вращения, а также точки оси, в которой помещено начало вектора . В частности, в качестве радиуса-вектора можно использовать вектор , направив его из точки в точку . Из определения ускорения и векторной формулы Эйлера имеем: Учитывая, что , , получаем . (66) Первое слагаемое в (66) является касательным ускорением, а второе – нормальным, т. е. , . (67) В справедливости (67) убеждаемся вычислением их правых частей. Имеем , что совпадает с касательным ускорением. Направление вектора параллельно вектору касательного ускорения (рис. 31). Для векторного произведения имеем , так как векторы и взаимно перпендикулярны. Направление вектора параллельно вектору нормального ускорения и направлено от точки к оси вращения, поэтому , если условиться вектор направлять от оси вращения. Справедливость формул (67) установлена. Из определения скорости точки известно, что , где – радиус-вектор точки, проведенный из любой неподвижной точки, в частности из любой точки на оси вращения тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Но скорость точки при вращательном движении тела определяется по векторной формуле Эйлера . Сопоставление двух формул для скорости точки дает формулу для вычисления производной по времени от вектора : . (68) В этой формуле вектор имеет постоянный модуль, так как соединяет все время две точки твердого тела. Вектор , являясь угловой скоростью вращения твердого тела вокруг неподвижной оси, выполняет также роль угловой скорости вращения вектора , жестко скрепленного с телом. Формула (68) остается справедливой также для вектора , начало которого находится в любой точке тела, а не только на оси вращения. По этой формуле вычисляется производная по времени от любого вектора, величина которого постоянна.
Популярное: Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1563)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |