Интегрирование простейших иррациональных функций0.00 из
5.000 оценок
Интегрирование элементарных дробей
Тип
инт.
Вид интеграла
Знак
D
№
сп.
Способ решения
пример
I
=
II
=
III
D>0
№1
Найдем корни многочлена:
1=A(x-1)+B(x-5)
A= , B=-
D>0,
D<0
№2
Выделим полный квадрат:
1)
2)
D=0
Cмотри решение интеграла типа II
I˅
D>0
№1
№2
См. III (разлагаем подынтегральную функцию на сумму элементарных дробей)
-редко
D>0,
D<0
№3
Выделяем в числителе производную
квадратного трехчлена: (числа E, F находим подбором)
D=0
Разбиваем на 2 интеграла
˅
Аналогичные решения
Формула приведения:
Интегрирование тригонометрических функций
I (рациональная функция)
Общий случай,
например,
Сводится к интегралам от рациональных функций с помощью универсальной подстановки: , тогда
под знаком
интеграла содержатся только
в четных степенях
Сводим к или и делаем подстановку: или
Используются формулы:
Делаем подстановку
, тогда
- интеграл от рациональной дроби
II
Если хотя бы одно из m
или n нечетное, положительное целое
Отделяем от нечетной степени один сомножитель, подводим его производную под знак дифференциала, оставшуюся четную степень выражаем с помощью формулы:
Если m и n – оба четные, неотрицательные (одно из них м.б. равным нулю)
Понижаем степени с помощью формул:
Если сумма (m + n) – целая, четная, отрицательная
Сводим к или и делаем подстановку:
или
Используются формулы п. I.2
Если один из m или n равен нулю, а второй – нечетное, отрицательное
число
1)Делаем подстановку:
,
при этом используются формулы п. I.1.
2) Либо с помощью замены сводим к интегралу от рациональной дроби.
3) Либо используются формулы приведения.
1) интеграл от рациональной дроби
2) интегралу от рациональной дроби
Если один из m или n равен нулю, а второй – четное, отрицательное
число
Делаем подстановку:
или , при этом
используются формулы п. I.2.
Либо используются формулы приведения
III (произведение синусов и косинусов различных аргументов) dx
Используем формулу:
Интегрирование простейших иррациональных функций
№
Вид интеграла
Способ вычисления
Пример
интеграл от рациональной
функции
Делаем подстановку:
,
где n – наименьшее кратное всех показателей k, m, …
(интеграл от
неправильной рациональной дроби, делим уголком)=
=
интеграл от рациональной функции,
m,k,s,r – целые числа
Делаем замену:
,
где n – общий знаменатель дробей
а)
Делаем подстановку:
или , тогда
или
В итоге перейдем к интегралу вида:
б)
Делаем подстановку:
или , тогда
или
В итоге перейдем к интегралу вида:
Свели к интегралу II 4 (подстановка )
в)
Делаем подстановку:
или ,
тогда
или
В итоге перейдем к интегралу вида:
Свели к интегралу от рациональной дроби.
г) общий случай
В квадратном трехчлене выделяем полный квадрат:
приходим к одному из трех интегралов типа 3a, 3б, 3в
2.
Предварительно выделяем в числителе производную квадратного трехчлена:
первый и второй – табличные интегралы,
r = 1,2
Делаем замену:
Тогда
В итоге перейдем к интегралу типа 3 (a, б, в, г) или 4.