Требования к оформлению

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ и науки

Российской Федерации

Курский государственный технический университет

Кафедра экономики, управления и политики

 

 

ЭКОНОМЕТРИКА

Методические рекомендации по изучению дисциплины

Курск 2015

ОГЛАВЛЕНИЕ

 

1.Общие методические указания к изучению дисциплины
2.основные темы курса
3.Структура и содержание контрольной работы
4.Требования к оформлению
5.Варианты контрольных работ
6.методические указания к решению задач
7.контрольные вопросы
8.Рекомендуемая литература

 

ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ИЗУЧЕНИЮ дисцпилины

 

Достижения современной экономической науки предъявляют новые требования к высшему экономическому профессиональному образованию. Поэтому наряду с микроэкономикой и макроэкономикой в число основных дисциплин экономического образования включена и эконометрика.

Прикладное значение этой дисциплины состоит в том, что она является связующим звеном между экономической теорией и практикой. Эконометрика дает методы экономических измерений, методы оценки параметров моделей микро- и макроэкономики. Важно, что эконометрические методы одновременно позволяют оценить ошибки измерений экономических величин и параметров моделей. Экономист, не владеющий этими методами, не может эффективно работать аналитиком. Менеджер, не понимающий значение этих методов, обречен на принятие ошибочных решений, коммерсант, не использующий эконометрический аппарат, не в состоянии оценить торгово-экономическую деятельность предприятия и т.д.

Применение метода эконометрического анализа, который объединяет экономическую теорию со статистическими методами анализа, используется в создании модели народного хозяйства с целью прогнозирования таких важных показателей, как валовой национальный продукт, уровень безработицы, темп инфляции и дефицит федерального бюджета. Эконометрика используется все более широко в управленческой деятельности предприятий и организаций торговли, позволяет сделать достаточно точные перспективные прогнозы о состоянии потребительского рынка, товарных рынков, регулирует динамику цен и т.д.

Особенностью деятельности экономиста является работа в условиях недостатка информации и полноты исходных данных. Анализ такой информации требует специальных методов, которые составляют один из аспектов эконометрики. Основными задачами эконометрики являются построение эконометрической модели и определение возможностей ее использования для описания, анализа и прогнозирования реальных экономических процессов.

ЦЕЛЬ ПРЕПОДАВАНИЯ КУРСА – дать студентам научное представление о методах, моделях и приемах, позволяющих получать количественные выражения закономерностям экономической теории на базе экономической статистики с использованием математико-статистического инструментария.

ЗАДАЧИ КУРСА – в соответствии с целью студенты должны усвоить методы количественной оценки социально-экономических процессов, научиться содержательно интерпретировать формальные результаты.

СФЕРА ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ПРИМЕНЕНИЯ И СВЯЗЬ С ДРУГИМИ ДИСЦИПЛИНАМИ – современные социально-экономические процессы и явления зависят от большого количества факторов, их определяющих. В связи с этим квалифицированному специалисту необходимо не только иметь четкие представления об основных направлениях развития экономики, но и уметь учитывать сложное взаимосвязанное многообразие факторов, оказывающих существенное влияние на изучаемый процесс. Такие исследования не возможно проводить без знания основ теории вероятностей, математической статистики, многомерных статистических методов и эконометрики, т.е. дисциплин, позволяющих исследователю разобраться в огромном количестве стохастической информации и среди множества различных вероятностных моделей выбрать единственную, наилучшим образом отражающую изучаемый процесс или явление.

Выполнение контрольной работы по эконометрике студентам рекомендуется начинать с изучения методических указаний и основной рекомендуемой литературы.

Основные темы курса

Тема 1. Задачи эконометрики в области социально-экономических исследований. Основные этапы эконометрического моделирования.

Название «эконометрика», введенное норвежским экономистом и статистиком Рагнаром Фришем в буквальном переводе означает «измерения в экономике». Единое общепринятое определение эконометрики в настоящее время отсутствует, поэтому приведем высказывания известных ученых, дающие представление об этой науке.

Эконометрика – это раздел экономики, занимающийся разработкой и применением статистических методов для измерений взаимосвязей между экономическими переменными (Р.Фишер и др.)

Э.Маленво интерпретировал эконометрику как «любое приложение математики или статистических методов к изучению экономических явлений».

Эконометрика – самостоятельная экономико-математическая научная дисциплина, позволяющая на базе положений экономической теории и исходных данных экономической статистики, используя необходимый математико-статистический инструментарий, придавать конкретное количественное выражение общим (качественным) закономерностям, обусловленным экономической теорией (Айвазян С.А., Мхитарян В.С.).

Елисеева И.И. определяет эконометрику как науку, которая дает количественное выражение взаимосвязей экономических явлений и процессов.

Таким образом, эконометрика – это научная дисциплина, изучающая количественные стороны экономических явлений и процессов средствами математического и статистического анализа.

Эконометрика охватывает все аспекты применения математических методов в экономике, выявляет, строит и изучает конкретные количественные зависимости одних экономических показателей от других, используя статистические методы для обработки информации и оценки правдоподобия построений, а математические – для их анализа.

Главное назначение эконометрики – модельное описание конкретных количественных взаимосвязей, существующих между анализируемыми показателями.

Существует три основных класса эконометрических моделей:

Модели временных рядов, включающие модели:

- Тренда , где T(t) –временной тренд заданного параметрического вида, ε_i – случайная компонента;

- Сезонности где S(t) – периодическая (сезонная) компонента, ε_i – случайная компонента;

- Тренда и сезонности

аддитивная;

(мультипликативная);

Регрессионные модели с одним уравнением

В таких моделях зависимая переменная y представляется в виде функции , где - независимые (объясняющие) переменные. В зависимости от вида функции модели делятся на линейные и нелинейные.

Системы одновременных уравнений

Эти модели описываются системами одновременных уравнений, которые могут состоять из тождеств и регрессионных уравнений, каждое из которых может, кроме объясняющих переменных, включать в себя также объяснимые переменных из других уравнений системы.

Примером такой системы является модель спроса (Q^d) и предложения (Q^s), когда спрос на товар определяется его ценой (Р) и (I) потребителя, предложение – его ценой (Р) и достигается равновесие между спросом и предложением:

При эконометрическом моделировании мы встречаемся с двумя типами данных: пространственные данные (набор показателей экономических переменных в один и тот же момент времени) и временные ряды (серия наблюдений одной и той же случайной величины в последовательные моменты времени).

Весь процесс эконометрического моделирования можно разделить на шесть основных этапов:

- постановочный (на этом этапе формируется цель исследования, определяется набор участвующих в модели экономических переменных);

- априорный (проводится анализ экономической ущности изучаемого объекта, формирование и формализация известной до начала исследования (априорной) информации);

- параметризация (осуществляется непосредственно моделирование, т.е. выбор общего вида модели, в том числе состава переменных и формы их связи);

- информационный (собирается необходимая статистическая информация – наблюдаемые значения экономических переменных);

- идентификация модели (на этом этапе проводится статистический анализ модели и оценка ее параметров);

- верификация модели (проверяется истинность, адекватность модели, т.е. соответствие моделируемому реальному экономическому объекту).

На первых трех этапах весьма важной является проблема спецификации модели, включающая выражение в математической форме выявленных связей и соотношений, установление состава объясняющих переменных (в том числе и лаговых), формулировка исходных предпосылок и ограничений модели и ряд других вопросов. Спецификация опирается на имеющиеся экономические теории, специальные знания, а также на интуитивные представления об анализируемом экономическом объекте.

Широкому внедрению эконометрических методов способствовало развитие информационных технологий. Компьютерные эконометрические пакеты сделали эти методы более доступными. Наиболее трудоемкая работа по вычислению различных статистик, параметров, построению таблиц и графиков в основном выполняется компьютером, а исследователю остается работа по постановке задачи, выбору соответствующей модели и метода ее решения, а также интерпретации результатов.

 

Тема 2. Классическая и обобщенная линейные модели

множественной регрессии

 

Экономические явления определяются, как правило, большим числом совокупно действующих факторов. В связи с этим часто возникает задача исследования зависимости одной переменной Y от нескольких объясняющих переменных X₁,Х₂,…Х_n. Эта задача решается с помощью множественного регрессионного анализа.

Построение уравнения множественной регрессии начинается с решения вопроса о спецификации модели, включающего отбор факторов и выбор вида уравнения регрессии. Факторы, включаемые во множественную регрессию, должны отвечать следующим требованиям:

- они должны быть количественно измеримы (качественным факторам необходимо придать количественную определенность);

- между факторами не должно быть высокой корреляционной, а тем более функциональной зависимости, т.е. наличия мультиколлинеарности.

Включение в модель мультиколлинеарных факторов может привести к следующим последствиям:

- Затрудняется интерпретация параметров множественной регрессии как характеристик действия факторов в «чистом виде», поскольку факторы связаны между собой; параметры линейной регрессии теряют экономический смысл;

- Оценки параметров ненадежны, имеют большие стандартные ошибки и меняются с изменением объема наблюдений.

Пусть - матрица – столбец значений зависимой переменной размера n;

- матрица значений, объясняющих переменных;

 

- матрица – столбец (вектор) параметров размера m+1;

- матрица – столбец (вектор) остатков размера n.

Тогда в матричной форме модель множественной линейной регрессии запишется следующим образом:

(1)

При оценке параметров уравнения регрессии (вектора b) применяется метод наименьших квадратов (МНК). При этом делаются определенные предпосылки.

1. В модели (1) ε – случайный вектор, Х - неслучайная (детерминированная) матрица.

2. Математическое ожидание величины остатков равно нулю: М(ε) = 0_n.

3. Дисперсия остатков ε_i постоянна для любого i (условие гомоскедастичности), остатки ε_i и ε_j при i≠j не коррелированны: .

4. ε – нормально распределенный случайный вектор, т.е. ε~N(0_n;σ² E_n).

5. r(X)=m+1<n. Столбцы матрицы Х должны быть линейно независимыми (ранг матрицы Х максимальный, а число наблюдений n превосходит ранг матрицы).

Модель (1), в которой зависимая переменная, остатки и объясняющие переменные удовлетворяют предпосылкам 1-5 называется классической нормальной линейной моделью множественной регрессии (КНЛММР). Если не выполняется только предпосылка 4, то модель называется классической линейной моделью множественной регрессии (КЛММР).

Согласно методу наименьших квадратов неизвестные параметры выбираются таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений фактических значений от значений, найденных по уравнению регрессии, была минимальной:

Решением этой задачи является вектор

Одной из наиболее эффективных оценок адекватности модели является коэффициент детерминации R², определяемый формулой:

Коэффициент детерминации характеризует долю вариации зависимой переменной, обусловленной регрессией или изменчивостью объясняющих переменных. Чем ближе R² к единице, тем лучше построенная регрессионная модель описывает зависимость между объясняющими и зависимой переменной.

Следует иметь в виду, что при включении в модель новой объясняющей переменной, коэффициент детерминации увеличивается, хотя это и не обязательно означает улучшение качества регрессионной модели. В этой связи лучше использовать скорректированный (поправленный) коэффициент детерминации R², пересчитываемый по формуле:

где n – число наблюдений,

m – число параметров при переменных х.

Из формулы следует, что с включением в модель дополнительных переменных разница между значениями и увеличивается. Таким образом, скорректированный коэффициент детерминации может уменьшаться при добавлении в модель новой объясняющей переменной, не оказывающей существенного влияния на результативный признак.

Но использование только коэффициента детерминации для выбора наибольшего уравнения регрессии может оказаться недостаточным.

Средняя относительная ошибка аппроксимации рассчитывается по формуле:

Значимость уравнения регрессии в целом сводиться к проверке гипотезы об одновременном равенстве нулю всех коэффициентов регрессии при факторных признаках т.е. гипотезы:

Если данная гипотеза не отклоняется, то делается вывод о том, что совокупное влияние всех факторных признаков х₁, х₂, … х_m , включенных в модель, на зависимую переменную y можно считать статистически несущественным. Проверка данной гипотезы осуществляется на основе дисперсионного анализа.

Основной идеей дисперсионного анализа является разложение общей суммы квадратов отклонений результативной переменной y от среднего значения y на «объясненную» и «остаточную»:

 

Для приведения дисперсий к сопоставимому виду, определяют дисперсии на одну степень свободы. Результаты вычислений заносят в специальную таблицу дисперсионного анализа.

 

 

Таблица 2.1.

Дисперсионный анализ

Компоненты дисперсии	Сумма квадратов	Число степеней свободы	Оценка дисперсии на одну степень свободы
Общая		m-1
Объясненная		m
Остаточная		n-m-1

 

В данной таблице n – число наблюдений, m – число параметров при переменных х.

Сравнивая полученные оценки объясненной и остаточной дисперсии на одну степень свободы, определяют значение F – критерия Фишера, используемого для оценки значимости уравнения регрессии:

С помощью F – критерия проверяется нулевая гипотеза о равенстве дисперсий H₀: S_R²=S².

Если нулевая гипотеза справедлива, то объясненная и остаточная дисперсии не отличаются друг от друга. Для того, чтобы уравнение регрессии было значимо в целом (гипотеза Н₀ была опровергнута) необходимо, чтобы объясненная дисперсия превышала остаточную в несколько раз. Критическое значение F – критерия определяется по таблице Фишера – Снедекора.

Расчетное значение сравнивается с табличным, и если оно превышает табличное (F_расч>F_табл), то гипотеза Н₀ отвергается, и уравнение регрессии признается значимым. Если F_расч<F_табл, то уравнение регрессии считается статистически незначимым. Нулевая гипотеза Н_о не может быть отклонена.

Расчетное значение F – критерия связано с коэффициентом детерминации R² следующим соотношением:

где m –число параметров при переменных х;

n – число наблюдений.

Оценка значимости коэффициентов регрессии сводится к проверке гипотезы о равенстве нулю коэффициента регрессии при соответствующем факторном признаке, т.е. гипотезы:

Н_о : b_i=0

Проверка гипотезы проводится с помощью t – критерия Стьюдента. Для этого расчетное значение t-критерия:

где b_i – коэффициент регрессии при х_i

m_bi – средняя квадратическая ошибка коэффициента регрессии b_i

сравнивается с табличным t_табл при заданном уровне значимости (для экономических процессов и явлений) и числе степеней свободы (n-2).

Если расчетное значение превышает табличное, то гипотезу о несущественности коэффициента регрессии можно отклонить.

Рассмотрим интерпретацию параметров модели линейной множественной регрессии. В линейной модели множественной регрессии коэффициенты регрессии b_i характеризуют среднее изменение результата с изменением соответствующего фактора на единицу при неизменном значении других факторов, закрепленных на среднем уровне.

На практике часто бывает необходимо сравнить влияние на зависимую переменную различных объясняющих переменных, когда последние выражаются разными единицами измерения. В этом случае используют стандартизованные коэффициенты регрессии β_i и коэффициенты эластичности Э_i (i=1,2,…,m).

Уравнение регрессии в стандартизованной форме:

Где - стандартизованные переменных.

В результате такого нормирования средние значения всех стандартизованных переменных равны нулю, а дисперсии равны единице, т.е.

Коэффициенты «чистой» регрессии связаны со стандартизованными коэффициентами следующим соотношением:

Стандартизованные коэффициенты показывают, на сколько стандартных отклонений (сигм) изменится в среднем результат, если соответствующий фактор х₁ изменится на одно стандартное отклонение (одну сигму) при неизменном среднем уровне других факторов. Сравнивая стандартизованные коэффициенты друг с другом, можно ранжировать факторы по силе их воздействия на результат.

Средние коэффициенты эластичности вычисляются по формуле:

Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов (от средней) изменится в среднем Y при увеличении только фактора X_i на 1%.

При эконометрическом моделировании реальных экономических процессов предпосылки КЛММР нередко оказываются нарушенными: дисперсии остатков модели не одинаковы (гетероскедастичность остатков), или наблюдается корреляция между остатками в разные моменты времени (автокоррелированные остатки). Тогда предпосылка «3» запишется следующим образом:

где Ώ – положительно определенная матрица.

Принимая, что дисперсия объясняющих переменных могут быть произвольными, мы получаем обобщенную линейную модель множественной регрессии (ОЛММР).

В этом случае оценка параметров модели осуществляется обобщенным методом наименьших квадратов (ОМНК):

Если модель гетероскедастична, то матрица Ώ – диагональная. Тогда имеем:

В этом случае обобщенный метод наименьших квадратов называется взвешенным методом наименьших квадратов, поскольку мы «взвешиваем» каждое наблюдение с помощью коэффициента 1/σ_i.

На практике, однако, значения σ_i почти никогда не бывают известны. Поэтому сначала находят оценку вектора параметров обычным методом наименьших квадратов. Затем находят регрессию квадратов остатков на квадратичные функции объясняющих переменных, т.о. уравнение

Где f(x) – квадратичная функция.

Далее по полученном уравнению рассчитывают теоретические значения и определяют набор весов Затем вводят новые переменных и находят уравнение . Полученная оценка и есть оценка взвешенного метода наименьших квадратов.

Проверить модель на гетероскедастичность можно с помощью следующих тестов: ранговой корреляции Спирмена; Голдфельда-Квандта; Уайта; Глейзера.

Рассмотрим тест на гетероскедастичность, применяемый в случае, если ошибки регрессии можно считать нормально распределенными случайными величинами, - тест Голдфельда-Квандта.

Все n наблюдений упорядочиваются в порядке возрастания значений фактора Х. затем выбираются m первых и m последних наблюдений.

Гипотеза о гомоскедастичности равносильна тому, что значения остатков e₁,…,e_m и e_n-m+l,…,e_n представляют собой выборочные наблюдения нормально распределенных случайных величин, имеющих одинаковые дисперсии.

Гипотеза о равенстве дисперсий двух нормально распределенных совокупностей проверяется с помощью F – критерия Фишера.

Расчетное значение вычисляется по формуле (в числителе всегда большая сумма квадратов):

Гипотеза о равенстве дисперсий двух наборов по m наблюдений (т.е. гипотеза об отсутствии гетероскедастичности остатков) отвергается, если расчетное значение превышает табличное F>F_α;m-p;m-p, где p – число регрессоров.

Мощность теста (вероятность отвергнуть гипотезу об отсутствии гетероскедастичности, когда гетероскедастичности действительно нет) максимальна, если выбирать m порядка n/3.

Тест Голдфельда – Квандта позволяет выявить факт наличия гетероскедастичности, но не позволяет описать характер зависимостей дисперсий ошибок регрессии количественно.

Если прослеживается влияние результатов предыдущих наблюдений на результаты последующих, случайные величины (ошибки) ε_i в регрессионной модели не оказываются независимыми. Такие модели называются моделями с наличием автокорреляции.

Как правило, если автокорреляция присутствует, то наибольшее влияние на последующее наблюдение оказывает результат предыдущего наблюдения. Наличие автокорреляции между соседними уровнями ряда можно определить с помощью теста Дарбина-Уотсона. Расчетное значение определяется по следующей формуле:

Значения критерия находятся в интервале от 0 до 4. По таблицам критических точек распределения Дарбина-Уотсона для заданного уровня значимости , числа наблюдений (n) и количества объясняющих переменных (m) находят пороговые значения d_н (нижняя граница) и d_в (верхняя граница).

Если расчетное значение:

, то гипотеза об отсутствии автокорреляции не отвергается (принимается);

или , то вопрос об отвержении или принятии гипотезы остается открытым (расчетное значение попадает в зону неопределенности);

, то принимается альтернативная гипотеза о наличии положительной автокорреляции;

, то принимается альтернативная гипотеза о наличии отрицательной автокорреляции.

 

Таблица 2.2.

Промежутки внутри интервала [0 - 4]

принимается альтернативная гипотеза о наличии положительнойавтокорреляции	вопрос об отвержении или принятии гипотезы остается открытым (расчетное значение попадает в зону неопределенности)	гипотеза об отсутствии автокорреляции не отвергается (принимается)	вопрос об отвержении или принятии гипотезы остается открытым (расчетное значение попадает в зону неопределенности)	принимается альтернативная гипотеза о наличии отрицательной автокорреляции

 

Недостаток теста Дарбина – Уотсона заключается прежде всего в том, что он содержит зоны неопределенности. Во-вторых, он позволяет выявить наличие автокорреляции только между соседними уровнями, тогда как автокорреляция может существовать и между более отдаленными наблюдениями. Поэтому наряду с тестом Дарбина-Уотсона для проверки наличия автокорреляции используются тест серий (Бреуша – Годфри),Q- тест Льюинга – Бокса и другие. Наиболее распространенным приемом устранения автокорреляции во временных рядах является построение авторегрессионных моделей.

 

Тема 3. Линейные регрессионные

модели с переменной структурой

 

При изучении социально-экономических процессов и явлений может оказаться необходимым включить в модель фактор, имеющий два или более качественных уровня, например, образование, пол, фактор сезонности. Качественные признаки могут существенно влиять на структуру линейных связей между переменными и приводить к скачкообразному изменению параметров регрессионной модели. В этом случае говорят об исследовании регрессионных моделей с переменной структурой или построении регрессионных моделей по неоднородным данным.

Оценить влияние значений количественных переменных и уровней качественных признаков с помощью одного уравнения регрессии можно путем введения фиктивных переменных.

В качестве фиктивных переменных обычно используются дихотомические (бинарные) переменные, которые принимают всего два значения: «0» и «1». Например, при исследовании зависимости заработной платы от уровня образования Z можно рассмотреть к-1 уровня: начальное образование, среднее и высшее. Обычно вводят (к-1) бинарную переменную. В нашем случае потребуется ввести две фиктивные переменные.

Тогда регрессионная модель запишется в виде:

Где

х₁,…х_т – экономические (количественные) переменные.

Наличие у работника начального образования будет отражено парой значений z₁=0, z₂=0.

Параметры при фиктивных переменных z₁ и z₂ представляют собой разность между средним уровнем результативного признака для соответствующей группы и базовой группы (в нашем примере это работники с начальным образованием).

При построении регрессионных моделей по неоднородным данным необходимо выяснить, действительно ли две выборки однородны в регрессионном смысле, можно ли объединить их в одну и рассматривать единую модель регрессии?

Для ответа на этот вопрос можно воспользоваться тестом Г.Чоу.

По каждой выборке строятся две линейные регрессионные модели:

Проверяемая нулевая гипотеза имеет вид – Н₀: b`=b``; D(ε`)= D(ε``)=σ²

Если нулевая гипотеза верна, то две регрессионные модели можно объединить в одну объем n=n₁+n₂.

Согласно критерию Г.Чоу нулевая гипотеза Н₀ отвергается на уровне значимости α, если статистика

Где - остаточные суммы квадратов соответственно для объединенной, первой и второй выборок, n=n₁+n₂.

Для проверки гипотезы о структурной стабильности тенденции изучаемого временного ряда можно также использовать тест Д.Гуйарати.

 

Тема 4. Нелинейные модели регрессии и их линеаризаци.

 

Довольно часто соотношения между социально-экономическими явлениями и процессами приходится описывать нелинейными функциями. Например, производственные функции (зависимость между объемом производства и основными факторами производства) или функции спроса (зависимость между спросом на товары или услуги и их ценами или доходом).

Следует различать модели, нелинейные по параметрам, и модели, нелинейные по переменным.

Для оценки параметров нелинейных моделей существует два основных подхода:

1. Первый подход основан на линеаризации модели: преобразованием исходных переменных и введением новых, нелинейную модель можно свести к линейной, для оценки параметров которой используется метод наименьших квадратов.

2. Если подобрать соответствующее линеаризующее преобразование не удается, то применяются методы нелинейной оптимизации на основе исходных переменных.

Если модель нелинейна по переменным, то используется первый подход, т.е. вводятся новые переменные, и модель сводится к линейной:

Переходим к новым переменным; и получаем линейное уравнение:

Более сложной проблемой является нелинейность по оцениваемым параметрам. В ряде случаев путем подходящих преобразований эти модели удастся привести к линейному виду. Рассмотрим следующие модели, нелинейные по оцениваемым параметрам:

Степенная (мультипликативная) -

Степенная модель может быть преобразована к линейной путем логарифмирования обеих частей уравнения:

Замена переменных: В новых переменных модель запишется следующим образом:

Степенные модели получили широкое распространение в эконометрическом моделировании ввиду простой интерпретации параметров, которые представляют собой частные коэффициенты эластичности результативного признака по соответствующим факторным признакам.

Экспонента - ,

Экспоненциальная модель линеаризуется аналогично:

Переходя к новым переменным получаем линейную регрессионную модель:

Гипербола

Гиперболическая модель линеаризуется непосредственной заменой переменной y=1/y:

Эти функции используются при построении кривых Энгеля, которые описывают зависимость спроса на определенный вид товаров или услуг от уровня доходов потребителей или от цены товара.

Логарифмическая модель:

При выборе формы уравнения регрессии важно помнить, что чем сложнее функция, тем менее интерпретируемы ее параметры.

В качестве примера использования линеаризующего преобразования регрессии рассмотрим производственную функцию Кобба-Дугласа:

Где Y – объем производства, К – затраты капитала, L – затраты труда.

Путем логарифмирования обеих частей данную степенную модель можно свести к линейной:

Переходя к новым переменным Y`=lnY, A`=lnA, K`=lnK, L`=lnL, ε`=lnε, получаем линейную регрессионную модель:

Эластичность выпуска продукции.

Показатели α и β являются коэффициентами частной эластичности объема производства Y соответственно по затратам капитала К и труда L. Это означает, что с увеличением только затрат капитала (труда) на 1% объем производства возрастает на α% (β%):

 

Эффект от масштаба производства.

Если α и β в сумме превышают единицу, то говорят, что функция имеет возрастающий эффект от масштаба производства (это означает, что если К и L увеличиваются в некоторой пропорции, то Y растет в большей пропорции). Если их сумма равна единице, то это говорит о постоянном эффекте от масштаба производства. Если их сумма меньше единицы, то имеет место убывающий эффект от масштаба производства. Например, К и L увеличиваются в 2 раза. Найдем новый уровень выпуска (Y*):

Если α+β = 1,2, то 2^α+β=2,30, а Y увеличивается больше, чем в 2 раза.

Если α+β = 1, то 2^α+β=2, и Y увеличивается также