Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду
В главе "Поверхности второго порядка", где рассматривались поверхности второго порядка, было выписано их общее уравнение (13.1), а дальше для каждой поверхности использовалась своя прямоугольная декартова система координат, в которой уравнение поверхности имело канонический вид. В этом разделе мы выясним, как по общему уравнению найти такую систему координат. Результаты этого раздела используются и для приведения общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду. Достаточно будет во всех рассуждениях отбросить третью координату. Пусть в пространстве задана прямоугольная декартова система координат . Рассмотрим общее уравнение поверхности второго порядка, коэффициенты в котором обозначены специальным образом
где -- числа, причем хотя бы одно из чисел отлично от нуля. Выделим квадратичную часть выражения, стоящего в уравнении слева, Такое выражение называется квадратичной формой от трех переменных. Составим матрицу Эта матрица называется матрицей квадратичной формы . Она является симметричной, то есть , или, другими словами, . Следует обратить внимание на то, как эта матрица составлена. На диагонали у нее стоят коэффициенты при квадратах переменных, а в остальных местах -- половины коэффициентов при произведениях переменных. Исходная система координат является прямоугольной, поэтому скалярное произведение векторов с координатными столбцами , задается формулой . Сформулируем две теоремы, позволяющие пользоваться приведенным ниже алгоритмом. Теорема 19.4 Если матрица -- симметричная, то ее собственные числа являются вещественными числами и существует ортонормированный базис из собственных векторов. Пусть -- матрица квадратичной формы . По сформулированной теореме у нее существует ортонормированный базис из собственных векторов. Обозначим их , , , и пусть эти векторы имеют координаты Базис i, j, k назовем старым, а базис -- новым. Тогда матрица перехода 19.1.4.а будет иметь вид Выберем новую систему координат так, что начало координат не изменяется, а новые базисные векторы , , задают направления новых координатных осей , , (рис. 19.8). Рис.19.8.Система координат
Тогда координаты точки являются координатами ее радиус-вектора и, следовательно, при замене базиса меняются по формуле (18.1)
Теорема 19.5 Пусть собственные векторы , , матрицы квадратичной формы , образующие ортонормированный базис, соответствуют собственным числам , , . Тогда в системе координат квадратичная форма принимает вид Если мы из равенства (19.8) выпишем выражение , , через новые переменные , , и подставим в уравнение (19.7), то обнаружим, что квадратичная его часть и линейная часть преобразуются независимо друг от друга. В результате уравнение в системе координат имеет вид
Хотя бы одно из чисел , , отлично от нуля, иначе матрица была бы нулевой. Рассмотрим три случая.
Выполним параллельный перенос системы координат , взяв за новое начало системы координат точку (см. формулы (13.21)). Тогда в новой системе координат уравнение запишется в виде Здесь возможны следующие варианты.
Если же два числа отрицательны или все три отрицательны, то, умножив обе части уравнения на , получим случай 2 или случай 1.
Поделим обе части уравнения на и выполним параллельный перенос осей координат, взяв за новое начало координат точку . Получим уравнение
Если числа и отрицательны или , , то сменим направление у оси на противоположное и получим либо случай 1, либо случай 2.
Анализ поверхностей с таким уравнением предоставляем читателю.
Это -- уравнение цилиндрической поверхности, образующие которой параллельны оси , а направляющей служит кривая на плоскости с уравнением Анализ возможных поверхностей оставляем читателю.
Итак, получен алгоритм, позволяющий установить, какая поверхность задается уравнением второго порядка и каково ее положение в пространстве. Пример 19.11 Приведите уравнение поверхности к каноническому виду. Решение. Квадратичная форма имеет вид Выписываем ее матрицу Находим ее собственные числа. Для этого запишем характеристическое уравнение После вычисления определителя получим Подбором находим один корень . Преобразуем уравнение, выделяя множитель или откуда Находим два других корня характеристического уравнения и . Находим собственные векторы. Для собственного числа для координат собственного вектора получим систему уравнений Решая ее находим, что фундаментальная система решений содержит только одно решение, и в качестве собственного вектора можно взять . Для собственного числа для координат собственного вектора получим систему уравнений Отсюда находим собственный вектор . Для собственного числа для координат собственного вектора получим систему уравнений Отсюда находим собственный вектор . Легко проверить, что , то есть собственные векторы попарно ортогональны. Их длины равны соответственно , , . Поэтому векторы нового ортонормированного базиса будут иметь координаты Матрица перехода имеет вид Старые координаты связаны с новыми уравнением , то есть
Подставим эти выражения в исходное уравнение. Квадратичная форма примет вид, в котором произведения переменных будут отсутствовать, а коэффициентами при квадратах будут служить собственные числа Приводим подобные члены Выделим полные квадраты или Выполняем параллельный перенос осей координат Новое начало системы координат имеет координаты В исходной системе координат точка в соответствии с формулами (19.10) имеет координаты
Рис.19.9.Система координат
В новой системе координат (рис. 19.9) уравнение принимает канонический вид Это уравнение является каноническим уравнением однополостного гиперболоида. Его центр находится в точке , две вещественные оси параллельны векторам , , вещественные полуоси равны , . Мнимая ось параллельна вектору , мнимая полуось равна . Изображение гиперболоида приведено на рисунке 19.10.
Рис.19.10.Изображение гиперболоида
Популярное: Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (750)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |