Обработка результатов косвенных измерений
Рассмотрим случай, когда интересующая нас величина z является функцией k непосредственно измеряемых величин x1, x2,…, xk:
Обозначим через x1i, x2i,…, xni набор значений, принимаемых первичными переменными при их i-м измерении. Пусть всего проведено n измерений и, соответственно, получено n таких наборов, то есть i пробегает значения от 1 до n: i = (1, n). При обработке этих результатов можно поступить двояким образом.
Способ 1 Вычисляем n значений zi функции z, подставляя в выражение (8.4.1) конкретные наборы значений аргументов x1i, x2i,…, xki:
После этого совокупность вычисленных значений zi обрабатываем как серию прямых измерений с помощью формул (5.2.1) и (8.3.1): · находим среднее арифметическое из этих n значений zi функции z
· оцениваем ошибку косвенных измерений по формуле Стьюдента (8.3.1)
Способ 2 По n значениям каждой из напрямую измеренных переменных x1, x2,…, xk:с помощью методики Стьюдента по формулам (5.2.1) и (8.3.1), (7.3.2), (7.4.2), (7.5.1) находим: · средние значения аргументов <x1>, <x2>, …, <xk>; · ошибки Dx1, Dx2, …, Dxk. При этом для всех переменных принимаем одно и то же значение надежности p = 0.95 Конечный результат находится подстановкой найденных средних <x1>, <x2>, …, <xk> от непосредственно измеренных величин в формулу для функции z
Полуширину доверительного интервала Dz для результата косвенных измерений оцениваем по формуле
где - частные производные функции z, вычисляемые при значениях переменных x1 = <x1>, x2 = <x2>, …, xk = <xk>. Каждая частная производная может быть найдена как обыкновенная производная функции z(x1, x2, …) по соответствующему аргументу, если оставшиеся аргументы рассматривать как постоянные параметры ([5], с. 107). Результирующая погрешность Dz имеет ту же надежность p = 0.95.
Сравнивая слагаемые в подкоренном выражении (8.4.6), можно понять, погрешности каких из непосредственно измеряемых величин вносят наибольший вклад в окончательную ошибку Dz. Указанный анализ выражения (8.4.6) для результирующей ошибки Dz полезен для того, чтобы при подготовке и проведении эксперимента направить основные усилия на повышение точности в определении тех параметров, которые вносят основной вклад в ошибку Dz и, напротив, увидеть, на измерения каких величин можно не затрачивать большого труда.
В качестве примера применения второго способа рассмотрим обработку косвенных измерений величины z по измерениям двух величин - x и y: z = z(x, y). Среднее значение <z> находим по средним <x> и <y>
а для вычисления погрешности Dz воспользуемся правилом (8.4.6)
где Dx и Dy – погрешности в определении величин x и y.
Пусть, например, в нашей задаче об определении расстояния шагами (параграф 8.1) требовалось определить не число шагов X от дома до работы, а расстояние L в метрах. Тогда необходимо было бы еще измерить среднюю длину шага l на некоторой мерной длине, например, на стометровке. Пусть в результате этих дополнительных измерений оказалось, что длина шага l равна
Тогда среднее расстояние от дома до работы <L> = <x>∙<l> равнялось бы
Для того, чтобы оценить погрешность опыта, учтем, что в нашем случае формула (8.4.8) приводит к следующему выражению:
которое удобно записать, разделив обе части на <L>2 = <x>2∙<l>2:
Отсюда можно найти погрешность
Разрешая это уравнение относительно DL, находим DL 2∙102 м. Таким образом, окончательный результат должен быть записан так:
Более подробные сведения по статистической обработке данных можно найти в книгах [1] и [6]. В них показано, в частности, что, если ошибки измерений малы по сравнению с измеряемой величиной, то оба приведенных выше способа обработки результатов косвенных измерений дают одинаковые данные. Однако с точки зрения удобства расчетов второй способ представляется менее трудоемким.
Популярное: Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (888)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |