Определение конформного отображения
Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Определение. Отображение называется конформным в точке , если оно сохраняет углы между кривыми и обладает свойством постоянства растяжений в точке . Из выше сказанного вытекает, что если функция дифференцируема в некоторой окрестности точки (регулярна в точке ) и , то отображение является конформным в точке . Определение. Пусть функция однолистна в области D и пусть отображение является конформным в каждой точке области D. Тогда это отображение называется конформным. Если сохраняется не только величина углов, но и ориентация, то отображение называется конформным первого рода. Если же ориентация меняется на противоположную, то – конформным второго рода. Из определения однолистной функции, определения конформного отображения в точке и свойств производной вытекает, что если функция 1. дифференцируема в области D, 2. однолистна в области D, 3. ее производная отлична от нуля в этой области, то отображение является конформным.
Следующий материал готовить для доклада на следующем семинаре: 1. Линейная функция; 2. Дробно-линейнаяфункция; 3. Функция Жуковского. 4. Функция ; 5. Тригонометрические функции и ; 6. Гиперболические функции и . Линейная функция Определение.Линейной функцией называется функция вида: , (1.1.) где и – некоторые постоянные комплексные числа . Очевидно, что отображение (1.1.) будет конформным во всей плоскости комплексного переменного и при том взаимно однозначным. Рассмотрим сначала три случая, при чем, для простоты и будем изображать точками одной плоскости. 1) . Это отображение есть сложение векторов, а, фактически, параллельный перенос точек плоскости на вектор .(Рис. 2.1.1). Рисунок 2.1.1. 2) . Пусть , тогда . В этом случае имеем: , то есть точка переходит в точку при помощи вокруг поворота около нулевой точки на угол . Значит, это отображение есть поворот вокруг начала координат на угол (Рис. 2.1.2). Рисунок 2.1.2. 3) – постоянное комплексное число (если , то все точки комплексной плоскости перейдут в нулевую точку). Запишем в показательной форме, тогда получим
. Это означает, что длина вектора меняется в раз (то есть – коэффициент подобия) и к аргументу прибавляется угол (поворот вокруг начала координат на угол ). Окончательно получим, что отображение, осуществляемое функцией , есть комбинация преобразований точек плоскости: 1. поворот вокруг начала координат на угол, равный аргументу числа ; 2. подобие с центром в начале координат и коэффициентом подобия равным модулю числа ; 3. параллельный перенос на вектор , при котором начало координат переходит в точку . Функция является аналитической. При отображении, осуществляемом с помощью линейной функции, фигуры переходят в подобные им фигуры (на рис. 2.1.3. это показано для функции ). Это свойство называется свойством сохранения формы. Рисунок 2.1.3. Этим свойством обладает и преобразование , которое называется антилинейным. Оно сохраняет форму, но меняет ориентацию обхода границы фигуры на противоположную (На Рис. 2.1.4. это показано для функции ) Рисунок 2.1.4. Отсюда вытекает, что любое преобразование подобия задается линейной или антилинейной функцией, при чем если ориентация сохраняется, то оно задается линейной функцией. Поскольку линейная функция определяется двумя параметрами и , то для её задания нужны два условия.
Популярное: Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1287)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |