Действия с числовыми рядами
Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости. Действия с рядами. Числовой ряд. Рассмотрим произвольную числовую последовательность и составим сумму ее членов Это выражение называют числовым рядом, или просто рядом. Члены последовательности называют членами ряда. Сумма первых n членов ряда . - n-ой частичная сумма.
Сходимость числового ряда. Ряд называют сходящимся, если существует и конечен предел последовательности частичных сумм ряда. Сам предел при этом называют суммой ряда и обозначают , . Если предел частичных сумм не существует или бесконечен, то ряд расходится и суммы не имеет. Теорема 1. Если сходится ряд, получившийся из данного ряда отбрасыванием нескольких его членов, то сходится и сам данный ряд. Обратно, если сходится данный ряд, то сходится и ряд, получившийся из данного отбрасыванием нескольких членов. Иными словами, на сходимость ряда не влияет отбрасывание конечного числа его членов. Доказательство. Пусть Sn—сумма n первых членов ряда, Ck —сумма k отброшенных членов, Qn-k - сумма членов ряда, входящих в сумму Sn и не входящих в Ck. Тогда имеем: Sn= Ck + Qn-k где Ck — постоянное число, не зависящее от n. Из последнего соотношения следует, что если существует , то существует и если существует , то существует , а это и доказывает справедливость теоремы. Теорема 2. Если ряд a1 + a2 + … an сходится и его сумма равна s, то ряд ca1 + са-2 + ...can , где с — какое-либо фиксированное число, также сходится и его сумма равна сs. Доказательство. Обозначим n-ю частичную сумму 1 ряда через Sn, а 2 ряда— через . Тогда Отсюда ясно, что предел n-й частичной суммы ряда (4) существует, так как Итак, ряд сходится и его сумма равна сs. Теорема 3. Если ряды a1+a2+… и b1 + b2 + . . . сходятся и их суммы, соответственно, равны , то ряды (a1+b1) + (a2+b2) + … и (a1 – b1) + (a2 – b2) + … также сходятся и их суммы, соответственно, равны и . Необходимое условие сходимости ряда. Теорема. Если числовой ряд сходится, то его общий член при неограниченном возрастании n стремится к нулю, т.е. Доказательство. Пусть данный ряд сходится. Тогда по определению сходящегося ряда ; так как вместе с также и , то , т.е. Здесь , а . Поэтому Отсюда , что и требовалось доказать.
Нарушение необходимого признака устанавливает расходимость ряда. Это значит, что если некоторого ряда , то такой ряд является расходящимся. В этом случае применение необходимого признака дает законченный результат. Если же для некоторого ряда этот признак выполнен, то соответствующий ряд может быть и сходящимся и расходящимся. В таких случаях, т.е. при выполнении условия , вопрос о сходимости ряда требует дальнейшего исследования. Действия с числовыми рядами Выделяют следующие действия с числовыми рядами (они имеют смысл, т.е. сохраняют сумму ряда, только если она существует):
Популярное: Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (943)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |