Задачи для самостоятельного решения. Решите системы линейных уравнений по формулам Крамера. № Система
Решите системы линейных уравнений по формулам Крамера.
Обратная матрица и ее нахождение Квадратная матрица А, определитель которой равен нулю (detA=0) называется вырожденной. Если же detA ¹ 0, тогда матрица А называется невырожденной. Матрица А–1 называется обратной к матрице А, если выполняется соотношение
Таким образом, произведение матрицы А на обратную к ней матрицу А–1 равно единичной матрице Е (А–1 – это обозначение матрицы, обратной к матрице А). Отметим, что умножение матрицы А на обратную обладает свойством коммутативности
Можно доказать, что для любой невырожденной матрицы А существует единственная обратная матрица, которая находится по формуле
В формуле (1.20) D = det(А) ¹0, элементы А11 , А12 , …– алгебраические дополнения к соответствующим элементам а11 , а12 , …матрицы А. Пример 1.20 Найти матрицу , обратную к матрице А= . Решение Для нахождения обратной матрицы А–1 вычислим определитель D= = 2+1=3 и алгебраические дополнения А11 = 1 , А21 = 1, А12 = –1 , А22 = 2. После этого найдем А–1 = = .
Покажем, что для найденной матрицы выполняется условие :
.
Пример 1.21 Рассмотрим еще один пример нахождения обратной матрицы для матрицы третьего порядка: А = . Решение Вычислим определитель: D= =1×(–1)×0+1×(–6)×3+2×(–2)×1 – 1×(–1)×3–1×2×0– – (–6)×(–2)×1= –18 – 4 + 3 –12 = –31. Вычислим алгебраические дополнения соответствующих элементов:
Составим обратную матрицу: А–1 = = .
Покажем, что .
× =
= =
= = = Е. Решение систем с помощью обратной матрицы Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными (1.15):
или в матричной записи
Если А – невырожденная матрица (det A¹0), то система (1.15) совместна и имеет единственное решение. Умножая обе части равенства (1.21) слева на матрицу А–1, обратную к матрице А, получаем
Пример 1.22
Решить систему уравнений с помощью обратной матрицы:
Решение А = . Обратная матрица найдена в примере 1.21 и имеет вид А–1 = . По формуле (1.22) получаем Х = × = = = = . Таким образом, решение системы: (2; –1; 1).
Покажем, что если D= detA¹0, то формулы Крамера (1.16) могут быть получены из формулы (1.21). Действительно, из выражений (1.22) и (1.20) и (1.14) последовательно получаем
.
;
;
. Задачи для самостоятельного решения Решите системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы.
.
.
Популярное: Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (548)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |